Question

如圖，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于原點(diǎn)O，兩直角邊與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為m、n（m﹥0，n﹤0）；請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

1.當(dāng)m=1時(shí)，n=__ ▲  ； 當(dāng)m=2時(shí)，n=__ ▲  試猜想m與n滿足的關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論。

2.連接M、N，若△OMN的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式。

3.當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，恰好使得∠MNO=30°，此時(shí)過(guò)M作MA⊥x軸，垂足為A，求出△OMA的面積

4.當(dāng)m=2時(shí)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P使M、N、O、P四點(diǎn)構(gòu)成梯形，若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.當(dāng)m=1時(shí)，n= -1；（1分） 當(dāng)m=2時(shí)，n=；（1分）

 m與n滿足的關(guān)系：    （1分）

證明：作NB⊥x軸，垂足為B，則△OMA∽△NOB；∵M(jìn)（） N  ∴

整理得：    （1分）

2.S=====     （2分）

（注：還有其他方法）

3.∵∠MNO=30°，∴   又∵△OMA∽△NOB，∴     （1分）

將代入得                （1分）

∴△OMA的面積===        （1分）

4.        （3分）

【解析】(1)作NB⊥x軸，垂足為B，利用△OMA∽△NOB，推出；

（2）根據(jù)三角形的面積公式及（1）的結(jié)論得出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用△OMA∽△NOB算出的值，然后根據(jù)三角形面積公式得出結(jié)果；

（4）P點(diǎn)有三種可能，PO∥MN,PN∥OM,PM∥NO，利用平行線計(jì)算出P點(diǎn)的坐標(biāo).