Question

已知菱形ABCD，AE⊥CD，若AE=4，BC=5，則AC•BD=    ．

Answer 1

【答案】分析：從題中所給的已知條件，菱形ABCD，AE⊥CD，若AE=4，BC=5，由勾股定理可以算出DE的長，然后得到CE的長，在△AEC中，勾股定理可以得到AC的長，利用菱形的對角線互相垂直平分得到AO的長，在△AOD中，由勾股定理得到OD的長，從而可以得到BD的長，由此得出答案．
解答：解：解法一：∵菱形ABCD
∴AD=BC=5
∵AE⊥CD，AE=4
在Rt△AED中，由勾股定理可知DE²=AD²-AE²．
∴DE=3，CE=2
在Rt△AEC中，由勾股定理可知AC²=CE²+AE²．
∴AC==2
∴AO=
在Rt△AOD中，由勾股定理可知OD²=AD²-AO²．
∴OD==2
∴BD=4．
∴AC•BD=2•=40．

解法二：∵菱形ABCD，AE⊥CD
∴△ACD的面積為AE•CD=×4×5=10．
∴菱形ABCD的面積為二倍的△ACD的面積=10×2=20．
菱形的面積為對角線的長度乘積的二分之一．
所以AC•BD=40．
故答案為40．
點評：本題主要利用菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理來解決．