【題目】如圖所示,直線AC∥BD,連接AB,直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分,規(guī)定:線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí),連接PA、PB,構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角(提示:有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°).
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí),求證:∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí),∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立);
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第③部分時(shí),全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系,并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論.選擇其中一種結(jié)論加以證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)不成立;(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)如圖,延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E,由AC∥BD,可知∠PEA=∠PBD.由∠APB=∠PAE+∠PEA,可知∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答;
(3)根據(jù)P的不同位置,分①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí),②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí),③當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí),三種情況討論.
解:(1)如圖所示.延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E.
因?yàn)?/span>AC∥BD,所以∠PEA=∠PBD.
因?yàn)椤?/span>APB=∠PAE+∠PEA,所以∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)不成立.
過(guò)P作PM∥AC,
∵AC∥BD,
∴AC∥PM∥BD,
∴∠PAC+∠APM=180°,∠PBD+∠BPM=180°,
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°,而不能推出∠APB=∠PAC+∠PBD;
故不成立;
(3)①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí),結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB.
②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上時(shí),結(jié)論是∠PBD=∠PAC+∠APB,或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD(任寫一個(gè)即可).
③當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí),結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD
選擇①證明:
如圖1所示,連接PA,連接PB交AC于點(diǎn)M.
因?yàn)?/span>AC∥BD,所以∠PMC=∠PBD.
又因?yàn)椤?/span>PMC=∠PAM十∠APM,所以∠PBD=∠PAC+∠APB.
選擇②證明:如圖2所示.因?yàn)辄c(diǎn)P在射線BA上,所以∠APB=0°.
因?yàn)?/span>AC∥BD,所以∠PBD=∠PAC.
所以∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD.
選擇③證明:如答圖3所示,連接PA,連接PB交AC于點(diǎn)F.
因?yàn)?/span>AC∥BD,所以∠PFA=∠PBD.
因?yàn)椤?/span>PAC=∠APF+∠PFA,所以∠PAC=∠APF+∠PBD;
所以∠PAC=∠APB+∠PBD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AC﹣CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AC上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,在CB上的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),沿AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P也隨之停止.過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M,連接QM,以PM、QM為鄰邊作PMQN,設(shè)PMQN與矩形ABCD重疊部分圖形的周長(zhǎng)為d(長(zhǎng)度單位),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(t>0)
(1)求AC的長(zhǎng)
(2)用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng).
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí),求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的直線將矩形ABCD的面積平分,若該直線同時(shí)將PMQN的面積分成1:3的兩部分,直接寫出此時(shí)t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=4,AC=6,BD=10.(1)求∠ACD的度數(shù);(2)求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把Rt△ABC放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),其中∠CAB=90°,BC=5,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,0),將△ABC沿軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)C落在直線上時(shí),線段BC掃過(guò)的面積為( )
A. 16B. 8C. 8D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知A,B是拋物線y=ax2(a>0)上兩個(gè)不同的點(diǎn),其中A在第二象限,B在第一象限.
(1)如圖1所示,當(dāng)直線AB與x軸平行,∠AOB=90°,且AB=2時(shí),求此拋物線的解析式和A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積;
(2)如圖2所示,在(1)所求得的拋物線上,當(dāng)直線AB與x軸不平行,∠AOB仍為90°時(shí),求證:A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值;
(3)在(2)的條件下,如果直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、D,且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 .那么在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使△QDP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】收集和整理數(shù)據(jù).
某中學(xué)七(1)班學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)知識(shí)后,數(shù)學(xué)老師要求每個(gè)學(xué)生就本班學(xué)生的上學(xué)方式進(jìn)行一次全面調(diào)查,如圖是一同學(xué)通過(guò)收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:(每個(gè)學(xué)生只選擇1種上學(xué)方式).
(1)求該班乘車上學(xué)的人數(shù);
(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校七年級(jí)有1200名學(xué)生,能否由此估計(jì)出該校七年級(jí)學(xué)生騎自行車上學(xué)的人數(shù),為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為降低空氣污染,啟東飛鶴公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉嚕?jì)劃購(gòu)買A型和B型兩種公交車共10輛,其中每臺(tái)的價(jià)格,年載客量如表:
A型 | B型 | |
價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái)) | a | b |
年載客量(萬(wàn)人/年) | 60 | 100 |
若購(gòu)買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬(wàn)元;若購(gòu)買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬(wàn)元.
(1)求a,b的值;
(2)如果該公司購(gòu)買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過(guò)1200萬(wàn)元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬(wàn)人次.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使得購(gòu)車總費(fèi)用最少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,直線AB∥DC,點(diǎn)P為平面上一點(diǎn),連接AP與CP.
(1)如圖1,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,當(dāng)∠BAP=60°,∠DCP=20°時(shí),求∠APC.
(2)如圖2,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)如圖3,點(diǎn)P落在CD外,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將兩張寬度相等的矩形疊放在一起得到如圖所示的四邊形ABCD,則四邊形ABCD是___________形,若兩張矩形紙片的長(zhǎng)都是10,寬都是4,那么四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值=___________.
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