【題目】如圖(1),在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B(0,4).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)在x軸上有一點P,點P在直線AB的垂線段為PC,C為垂足,且PC= ,求點P的坐標;
(3)如圖(2),將原拋物線向左平移,使平移后的拋物線過原點,與原拋物線交于點D,在平移后的拋物線上是否存在點E,使S△APE=S△ACD?若存在,請求出點E的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點A(﹣4,0),B(0,4),
∴ ,解得: ,
∴所求拋物線的函數(shù)解析式是y=﹣ x2﹣x+4
(2)
解:∵A(﹣4,0),B(0,4),
∴OA=OB=4.
∵∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°.
設PC⊥AB,則∠ACP=90°,PC= .
Rt△ACP中,sin∠PAC= ,
∴PA= =2.
∴OP=OA﹣PA=2或OP=OA+AP=6.
∴點P的坐標為:P1(﹣2,0),P2(﹣6,0)
(3)
解:∵拋物線y=﹣ x2﹣x+4向左平移后過原點,
∴平移后的拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣ x2﹣3x.
由﹣ x2﹣x+4=﹣ x2﹣3x.
解得 x=﹣2.
∴y=﹣ ×(﹣2)2﹣3×(﹣2)=4.
∴點D的坐標為(﹣2,4).
如圖2,①當點P在AO上時,設P1C1⊥AB,過C1作C1N⊥x軸,垂足為N,
在Rt△AC1P1中,∵∠C1AP1=45°,AP1=2,
∴AC1=P1C1= .
∴AN=NC1=1.
∴點C1的坐標為(﹣3,1).
∴ = ﹣ ﹣ = ×2×4﹣ ×2×1﹣ ×4×1=4﹣1﹣2=1.
②當點P在OA延長線上時,同理可得點C2的坐標為(﹣5,﹣1). =1,
設點E(a,b),當S△APE=S△ACD時,有 ×2×|b|=1.即|﹣ a2﹣3a|=1.
∴﹣ a2﹣3a=1或﹣ a2﹣3a=﹣1.
∴a1=﹣3+ ,a2=﹣3﹣ ,a3=﹣3+ ,a4=﹣3﹣ .
∴存在點E,使S△APE=S△ACD,點E的坐標為:(﹣3+ ,1)或(﹣3﹣ ,﹣1)或(﹣3+ ,﹣1)或(﹣3﹣ ,﹣1)
【解析】(1)由A、B兩點的坐標可求得解析式;(2)由OA=OB=4知∠OAB=∠OBA=45°,根據(jù)sin∠PAC= 、PC= 可得PA的長,從而由OP=OA﹣PA或OP=OA+AP得出答案;(3)由平移后的拋物線y=﹣ x2﹣3x得出D(﹣2,4),分點P在AO上和點P在OA延長線上利用割補法求得△ACD的面積為1,設點E(a,b),根據(jù)S△APE=S△ACD得 ×2×|b|=1.即|﹣ a2﹣3a|=1,解方程即可得出答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為半圓上一動點,過點C作⊙O的切線l的垂線BD,垂足為D,BD與⊙O交于點E,連接OC,CE,AE,AE交OC于點F.
(1)求證:△CDE≌△EFC;
(2)若AB=4,連接AC. ①當AC=時,四邊形OBEC為菱形;
②當AC=時,四邊形EDCF為正方形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某容器由A、B、C三個連通長方體組成,其中A、B、C的底面積分別為25cm2、10cm2、5cm2,C的容積是整個容器容積的(容器各面的厚度忽略不計),A、B的總高度為12厘米.現(xiàn)以均勻的速度(單位:cm3/min)向容器內(nèi)注水,直到注滿為止.已知單獨注滿A、B分別需要的時間為10分鐘、8分鐘.
(1)求注滿整個容器所需的總時間;
(2)設容器A的高度為xcm,則容器B的高度為 cm;
(3)求容器A的高度和注水的速度.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點D,C在BF上,AC∥DE,∠A=∠E,BD=CF.
(1)求證:AB=EF;
(2)連接AF,BE,猜想四邊形ABEF的形狀,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖(1),四邊形ABCD是平行四邊形,BD是它的一條對角線,過頂點A、C分別作AM⊥BD,CN⊥BD,M,N為垂足.
(1)求證:AM=CN;
(2)如圖(2),在對角線DB的延長線及反向延長線上分別取點E,F(xiàn),使BE=DF,連接AE、CF,試探究:當EF滿足什么條件時,四邊形AECF是矩形?并加以證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,已知∠B和∠C的平分線相交于點F,經(jīng)過點F作DE//BC,交AB于D,交AC于點E,若BD+CE=9,則線段DE的長為( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是直線AB上一點,AOD=120, AOC=90,OE平分BOD,則圖中彼此互補的角共有( )
A. 4對 B. 5對 C. 6對 D. 7對
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,若一次函數(shù)的圖象與x軸的交于點,與y軸交于點下列結論:①關于x的方程的解為;②隨x的增大而減。虎坳P于x的方程的解為;④關于x的不等式的解為其中所有正確的為
A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點E在BC的延長線上,的平分線BD與的平分線CD相交于點D,連接AD,則下列結論中,正確的是
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com