Question

問題探究
（1）請在圖①的正方形ABCD內，畫出使∠APB=90°的一個點P，并說明理由；
（2）請在圖②的正方形ABCD內（含邊），畫出使∠APB=60°的所有的點P，并說明理由；
問題解決
（3）如圖③，現有一塊矩形鋼板ABCD，AB=4，BC=3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP′D鋼板，且∠APB=∠CP′D=60°，請你在圖③中畫出符合要求的點P和P′，并求出△APB的面積。（結果保留根號）

Answer 1

解：（1）如圖①，連接AC、BD交于點P，則∠APB=90°， ∴點P為所求；
（2）如圖②，畫法如下： 1）以AB為邊在正方形內作等邊三角形ABP； 2）作△ABP的外接圓⊙O，分別與AD、BC交于點E、F ∵在⊙O中，弦AB所對的上的圓周角均為60°， ∴上的所有點均為所求的點P；
（3）如圖③，畫法如下： 1）連接AC； 2）以AB為邊作等邊三角形ABE； 3）作等邊三角形ABE的外接圓⊙O，交AC于點P； 4）在AC上截取AP′=CP， 則P、P′即為所求； 過點B作BG⊥AC，交AC于點G， ∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3， ∴， ∴， 在Rt△ABG中，AB=4， ∴， 在Rt△BPG中，∠BPA=60°， ∴， ∴， ∴。