Question

【題目】如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，點C是弧BE的中點，過點C作PC⊥AE于點D，交AB的延長線于點P

（1）求證：直線PC是⊙O的切線；

（2）若∠P＝30°，AD＝3，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，如圖，由弧BC=弧CE得到∠BAC=∠EAC，加上∠OCA=∠OAC．則∠OCA=∠EAC，所以OC∥AE，從而得到PC⊥OC，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）解直角三角形求得AP，根據平行線分線段成比例定理求得OC，OP，利用勾股定理求得CP，然后根據S陰=S△OCP﹣S扇形BOC求解即可．

（1）連接OC．

∵點C為弧BE的中點，

∴弧BC=弧CE，

∴∠BAC=∠EAC．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠EAC，

∴OC∥AE．

∵PC⊥AE，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線．

（2）在Rt△ADP中，∠P=30°，AD=3，

∴AP=2AD=6．

∵OC∥AD，

∴，

設OC=x，則OP=6﹣x，

∴，

解得：x=2，

∴OC=2，OP=4，

∴在Rt△OCP中，CP2，

∴S陰=S△OCP﹣S扇形BOCOCPC2．