Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度

（1）當(dāng)t=2時(shí)，CD=______，AD=______；（請(qǐng)直接寫出答案）

（2）當(dāng)△CBD是直角三角形時(shí)，t=______；（請(qǐng)直接寫出答案）

（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒時(shí)，△CBD是等腰三角形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)CD=速度×時(shí)間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；
（3）分①CD=BD時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時(shí)，CD=6；③BD=BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．

（1）t=2時(shí)，CD=2×1=2，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC==10，

AD=AC-CD=10-2=8；

（2）①∠CDB=90°時(shí)，S△ABC=ACBD=ABBC，

即×10BD=×8×6，

解得BD=4.8，

∴CD==3.6，

t=3.6÷1=3.6秒；

②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，

t=10÷1=10秒，

綜上所述，t=3.6或10秒；

故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BD時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

∴CD=AD=AC=×10=5，

t=5÷1=5；

②CD=BC時(shí)，CD=6，t=6÷1=6；

③BD=BC時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

則CF=3.6，

CD=2CF=3.6×2=7.2，

∴t=7.2÷1=7.2，

綜上所述，t=5秒或6秒或7.2秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．