Question

學校興趣小組活動時老師準備了一些直角三角形紙片，從每張紙片中剪出一個半圓制作玩具．已知如圖，是直角邊長分別為3和4的直角△ABC，要求剪出的半圓的直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊都相切，請畫出所有不同方案的示意圖，并寫出相應半圓的半徑（結果保留根號）．

Answer 1

考點：作圖—應用與設計作圖

專題：作圖題

分析：分直徑在直角邊AC、BC上和在斜邊AB上三種情況分別求出半圓的半徑，然后作出圖形即可．

解答：解：根據勾股定理，斜邊AB=

32+42

=5，
①如答圖1，直徑在直角邊AC上時，
易得△ADE∽△ACB，
即：

AD

DE

=

AB

BC

，
即：

3-r

r

=

5

4

，
解得：r=

4

3

．

②如答圖2，直徑在直角邊BC上時，
易得△BGF∽△BCA，
即：

BF

FG

=

AB

AC

，
即：

4-r

r

=

5

3

，
解得：r=

3

2

．

③如答圖3，直徑在斜邊AB上時，
易得△AIH∽△ACB，
即：

AI

HI

=

AC

BC

，
即：

3-r

r

=

3

4

，
解得：r=

12

7

．

點評：本題考查了應用與設計作圖，主要利用了直線與圓相切，相似三角形對應邊成比例的性質，分別求出半圓的半徑是解題的關鍵．