Question

9．如圖1，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）如圖2，連接BD，F為x軸上一點，連接CF交BD于點E，當BE=CE時，求點F的坐標；
（3）如圖3，連接AC、BC，在（1）中的拋物線上是否存在點G，使得∠BCG=∠ACO？若存在，直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求解析式，并利用配方法求頂點坐標D；
（2）求OE的解析式，利用方程組求點E的坐標，利用待定系數法求CE的解析式，并求其與x軸的交點F的坐標；
（3）分兩種情況：當CG在BC的上方和上方時各存在一個角滿足∠ACO=∠BCG，①當CG與x軸交于點M時，設M（x，0），證明△ACM∽△ABC，求出x的值，即點M的坐標，求CM的解析式，與拋物線的解析式列方程組可求得點G的坐標；②當CG與x軸交于點N時，證明△ACP∽△NCO，同時可求得對應點G的坐標．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
頂點D（1，4）；
（2）當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
∵B（3，0），
∴OB=3，
∴OB=OC，
∵BE=CE，
∴點E在∠COB的平分線上，
作射線OE，則OE的解析式為：y=x，
設BD的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0）、D（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式為：y=-2x+6，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
-2x+6=x，
x=2，
∴y=2，
∴E（2，2），
設CE的解析式為：y=kx+b，
把C（0，3），E（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴CE的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當y=0時，-$\frac{1}{2}$x+3=0，
x=6，
∴F（6，0）；
（3）分兩種情況：
設G（x，-x²+2x+3），
①如圖3，當CG交x軸于M時，
∵∠ACO=∠BCG時，
∴∠ACM=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠ACM=45°，
∵∠ACB=∠ACM+∠BCG，∠AMC=∠OBC+∠BCG，
∴∠ACB=∠AMC，
∵∠CAM=∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
設M（x，0），
∴$\frac{x+1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，0），
同理可求得CM的解析式為：y=-2x+3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
-x²+2x+3=-2x+3，
x²-4x=0，
x（x-4）=0，
x₁=0（舍），x₂=4，
當x=4時，y=-5，
∴G（4，-5），
②如圖4，當CG與x軸交于點N時，過A作AP⊥BC于P，
∵∠OBC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴AP=BP=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CP=BC-BP=$\sqrt{2}$，
∵∠ACO=∠BCG，
∴∠ACB=∠OCG，
∵∠APC=∠COB=90°，
∴△ACP∽△NCO，
∴$\frac{AP}{NO}=\frac{CP}{CO}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{NO}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴NO=6，
∴N（6，0），
同理可得NC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
聯立方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{5}{2}$，
因為點G在拋物線上，所以當x=$\frac{5}{2}$時，y=$\frac{7}{4}$，
∴G（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
綜上所述，存在點G（4，-5）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），使得∠BCG=∠ACO．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，能利用解析式求交點坐標：把兩解析式組成方程組解出即可．