Question

已知：如圖在△ABC中，BD，CE為兩條高線，F(xiàn)為BD上一點(diǎn)，G為CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF=AC，CG=AB．
（1）請(qǐng)你判斷△AFG的形狀并證明．
（2）當(dāng)F為BD反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G為CE反向延線上一點(diǎn)，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你畫出圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證∠ABF=∠ACE，再證明△ABF≌△GCA（SAS），得出AF=AG，∠BAF=∠CGA，然后證出∠FAG=90°即可；
（2）先證∠ABF=∠GCA，再證明△ABF≌△GCA（SAS），可得AF=AG，∠BAF=∠CGA，再由角的關(guān)系證出∠FAG=90°即可證出△AFG是等腰直角三角形．

解答：解：（1）△AFG為等腰直角三角形；
證明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°，∠ACE+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△GCA中，

BF=AC   ∠ABF=∠ACE   AB=CG

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG，∠BAF=∠CGA，
∵∠CGA+∠GAE=90°，
∴∠BAF+∠GAE=90°，
即∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形；
（2）（1）中的結(jié)論成立；
證明：如圖2所示：
由（1）得，∠ABF=∠ACE，
∴∠ABF=∠GCA，
在△ABF和△GCA中，

BF=AC   ∠ABF=∠CGA   AB=CG

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG，∠BAF=∠CGA，
∵∠ACE=∠CGA+∠CAG，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BAF+∠CAG+∠EAC=90°，
即∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定；證明角相等和三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．