Question

正方形ABCD邊長為2，M、N分別為BC、CD上的點，AM⊥MN，BM=x，求x為何值時，△ABM∽△AMN？

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：由相似三角形的對應邊成比例，即可得當

AB

BM

=

AM

MN

時，△ABM∽△AMN，繼而可求得答案．

解答：解：設(shè)BM=x，
∵正方形ABCD邊長為2，
∴CM=BC-BM=2-x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM=BM：CN，
∴

2

2-x

=

x

CN

，
∴CN=

x(2-x)

2

，
∴在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=4+x²，
在Rt△CMN中，MN²=CM²+CN²=（2-x）²+[

x(2-x)

2

]²=

(2-x)2(x2+4)

4

，
∵∠B=∠AMN=90°，
∴當

AB

BM

=

AM

MN

時，△ABM∽△AMN，
∴當

AB2

BM2

=

AM2

MN2

，即

4

x2

=

4+x2

(2-x)2(4+x2) 4

時，△ABM∽△AMN，
解得：x=1．
故當x=1時△ABM與△AMN相似．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．