Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°．點P與點Q是平行四邊形ABCD邊上的動點，點P以每秒1個單位長度的速度，從點C運(yùn)動到點D，點Q以每秒2個單位長度的速度從點A→點B→點C運(yùn)動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運(yùn)動．點P與點Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t，△CPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出S的最大值；
（3）t為何值時，以△CPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形是菱形？

Answer 1

解：（1）①當(dāng)0＜t≤2時，如圖1，過點B作BE⊥DC，交DC的延長線于點E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4，
∴CP=t，S=
②當(dāng)2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=t，由勾股定理得：PF=t，
S=CQ×PF=×（12-2t）×t，
即S=-t²+3t．

（2）過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于F點，
∵∠PCF=∠D=60°，
∴PF=t，
∴S_△CPQ=-t²+3t=-（t-3）²+，
t=3時，S有最大值．
綜上，S的最大值為；

（3）當(dāng)0＜t≤2時，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形．
當(dāng)2＜t≤4時，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴當(dāng)t=4時，△CPQ為等腰三角形，
即為△CPQ的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形．
分析：（1）當(dāng)0＜t≤2時，如圖1，過點B作BD⊥BC，交DC的延長線于點E，根據(jù)三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于F點，由三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，
（2）根據(jù)S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式求出最大值，
（3）要使△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．
點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．