Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處．P、Q分別為線段AC、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AQ=2PC，連接PQ交線段AE于點(diǎn)M．
（1）設(shè)AQ=x，△APQ面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（2）若以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，求AQ的長；
（3）是否存在點(diǎn)Q，使得△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似？若存在請(qǐng)求出AQ的長；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AQ=x，即可利用x表示出AP的長，然后根據(jù)△APQ的面積=

1

2

AQ•AP•sin∠QAP，即可求解；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥AB，垂足為F，則PC=PF，直角三角形APF中根據(jù)邊角關(guān)系即可求解；
（3）△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形有兩個(gè)三角形相似，即可分成3種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)sin∠QPA=

PF

AP

，即可得到關(guān)于AQ的方程，從而求解．

解答：解：（1）如圖1過點(diǎn)Q作QH⊥AC，垂足為H，（1分）
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴在直角三角形AQH中sin60°=

QH

AQ

，
∴QH=

3

2

x．（1分）
∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC=

1

2

xAP=4-

1

2

x，（1分）
∴S△AQP=

1

2

AP•QH，
∴y=

1

2

（4-x）•

3

2

x=-

3

8

x²+

3

x（0＜x≤4）；
（2）如圖2過點(diǎn)P作PF⊥AB，垂足為F．（1分）
∵以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，
∴PC=P．F（1分）
在直角三角形APF中，sin30°=

PF

AP

，
∴

1

2

=

1 2 x

4- 1 2 x

，
∴x=

8

3

．（2分）
即：若以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，則AQ的長為

8

3

；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似．
①如圖3，當(dāng)△AQM與△APQ相似時(shí)，
∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP，
∴∠QAM=∠QPA=30°，
∴∠PQA=90°，
∴sin∠QPA=

AQ

AP

1

2

=

x

4- 1 2 x

，
∴x=

8

5

；（2分）
②當(dāng)△APQ與△APM相似時(shí)，
∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP，
∴∠PAM=∠PQA=30°，
∴∠QPA=90°，
∴sin∠PQA=

AP

AQ

1

2

=

4- 1 2 x

x

，
∴x=4；（2分）
③如圖4，當(dāng)△AQM與△APM相似時(shí)，
∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP，
∴∠AQM=∠APM，
∴AQ=AP，
∴x=4-

1

2

x，
∴x=

8

3

．（1分）
∴當(dāng)AQ為

8

5

或4或

8

3

時(shí)，△AQM、△APQ和△APM這三個(gè)三角形中一定有兩個(gè)三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論，利用sin∠QPA=

PF

AP

這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵．