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如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）求出直線OC的解析式及經過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．
（3）設從出發(fā)起，運動了t秒．如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．
（4）設從出發(fā)起，運動了t秒．當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．
（1）∵O、C兩點的坐標分別為O（0，0），C（8，6），
設OC的解析式為y=kx+b，將兩點坐標代入得：k=
3
4
，b=0，
∴y=
3
4
x（2分）
∵A，O是x軸上兩點，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-18）
再將C（8，6）代入得：a=-
3
40

∴y=-
3
40
x2+
27
20
x．（5分）

（2）D（10，6）．

（3）當Q在OC上運動時，可設Q（m，
3
4
m），
依題意有：m2+（
3
4
m）2=（2t）2
∴m=
8
5
t，
∴Q（
8
5
t，
6
5
t），（0≤t≤5）
當Q在CB上時，Q點所走過的路程為2t，
∵OC=10，
∴CQ=2t-10，
∴Q點的橫坐標為2t-10+8=2t-2，
∴Q（2t-2，6），（5＜t≤10）．（11分）

（4）∵梯形OABC的周長為：10+18+10+6=44，當Q點OC上時，P運動的路程為t，則Q運動的路程為（22-t），
△OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）×
3
5
，S△OPQ=
1
2
t（22-t）×
3
5
，
梯形OABC的面積S=
1
2
（18+10）×6=84，
∵直線PQ把梯形的面積也分成相等的兩部分，即S△OPQ=
1
2
S，
依題意有：
1
2
t（22-t）×
3
5
=84×
1
2
，
整理得：t2-22t+140=0
∵△=222-4×140＜0，
∴這樣的t不存在，
當Q在BC上時，Q走過的路程為22-t，
∴CQ的長為：22-t-10=12-t，
∴梯形OCQP的面積=
1
2
×6×（22-t-10+t）=36≠84×
1
2
，
∴這樣的t值不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積．（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和B（3，0），點C（m，
15
）在拋物線的對稱軸上．
（1）求拋物線的函數表達式．
（2）求證：△ABC是等腰三角形．
（3）動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動．當Q到達點A時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點M的坐標為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：y=-
1
4
x2+nx與直線y=
1
2
x及過N點垂直于x軸的直線交于點D．點P（m，0）是x軸上一動點，過點P作y軸的平行線，交射線OM于點E．設以M、E、H、N為頂點的四邊形的面積為S．
（1）直接寫出點D的坐標及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點是否在直線OM上？并說明理由；
（3）當m≠3時，求S與m的函數關系式；
（4）如圖2，設直線PE交射線OD于R，交拋物線C于點Q，以RQ為一邊，在RQ的右側作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對稱圖形時m的取值范圍．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+42交x軸于點A，交直線y=x于點B，拋物線y=ax2-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．
（1）求點C、D的縱坐標．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．[參考公式：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標為（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）]．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標系中，A、B、C三點的坐標分別是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）請在給出的直角坐標系xOy中畫出△ABC，設AC交X軸于點D，連接BD，證明：OD平分∠ADB；
（2）請在x軸上找出點E，使四邊形AOCE為平行四邊形，寫出E點坐標，并證明四邊形AOCE是平行四邊形；
（3）設經過點B，且以CE所在直線為對稱軸的拋物線的頂點為F，求直線FA的解析式．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2
3
，0），⊙P剛好與x軸相切于點A，⊙P交y的正半軸于點B，點C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開口向下的拋物線過O，A兩點，當它的頂點不在直線AB的上方時，求函數表達式的二次項系數a的取值范圍．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y1=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，且A、C兩點的坐標分別為A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線y1=ax2+bx+c和直線BC：y2=mx+n的解析式；
（2）當y1•y2≥0時，直接寫出x的取值范圍．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，頂點為D的拋物線y=x2+bx-3與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，連接BC，已知△BOC是等腰三角形．
（1）求點B的坐標及拋物線y=x2+bx-3的解析式；
（2）求四邊形ACDB的面積；
（3）若點E（x，y）是y軸右側的拋物線上不同于點B的任意一點，設以A，B，C，E為頂點的四邊形的面積為S．
①求S與x之間的函數關系式．
②若以A，B，C，E為頂點的四邊形與四邊形ACDB的面積相等，求點E的坐標．

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