【題目】將一副三角尺如圖拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的長直角邊與含45°角的三角尺(△ACD)的斜邊恰好重合.已知AB= ,P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí),連接DP,求DP的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PD=BC時(shí),求此時(shí)∠PDA的度數(shù);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以D,P,B,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上?求出此時(shí)DPBQ的面積.

【答案】
(1)解:在Rt△ABC中,AB=2 ,∠BAC=30°,

∴BC= ,AC=3.

如圖(1),作DF⊥AC.

∵Rt△ACD中,AD=CD,

∴DF=AF=CF=

∵BP平分∠ABC,

∴∠PBC=30°,

∴CP=BCtan30°=1,

∴PF=

∴DP= =


(2)解:當(dāng)P點(diǎn)位置如圖(2)所示時(shí),

根據(jù)(1)中結(jié)論,DF= ,∠ADF=45°,

又∵PD=BC= ,

∴cos∠PDF= = ,

∴∠PDF=30°.

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°.

當(dāng)P點(diǎn)位置如圖(3)所示時(shí),

同(2)可得∠PDF=30°.

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.

故∠PDA的度數(shù)為15°或75°;


(3)解:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC中點(diǎn)(如圖4),即CP= 時(shí),

以D,P,B,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上.

∵四邊形DPBQ為平行四邊形,

∴BC∥DP,

∵∠ACB=90°,

∴∠DPC=90°,即DP⊥AC.

而在Rt△ABC中,AB=2 ,BC= ,

∴根據(jù)勾股定理得:AC=3,

∵△DAC為等腰直角三角形,

∴DP=CP= AC=

∵BC∥DP,

∴PC是平行四邊形DPBQ的高,

∴S平行四邊形DPBQ=DPCP=


【解析】(1)作DF⊥AC,由AB的長求得BC、AC的長.在等腰Rt△DAC中,DF=FA=FC;在Rt△BCP中,求得PC的長.則由勾股定理即可求得DP的長.(2)由(1)得BC與DF的關(guān)系,則DP與DF的關(guān)系也已知,先求得∠PDF的度數(shù),則∠PDA的度數(shù)也可求出,需注意有兩種情況.(3)由于四邊形DPBQ為平行四邊形,則BC∥DF,P為AC中點(diǎn),作出平行四邊形,求得面積.

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(1)求k的值;

(2)當(dāng)S=時(shí) 求p點(diǎn)的坐標(biāo);

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(1)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)(長度單位)關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的函數(shù)圖象如圖2所示,請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度;

(2)求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在(1)中當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大,并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

(4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變,當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),OP與PQ能否相等,若能,寫出所有符合條件的t的值;若不能,請說明理由.

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