Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的長(zhǎng).

Answer 1

解：（1）證明：如答圖1，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于另一點(diǎn)G，連接CG，

∵AE是⊙O的切線，∴.

∴，即.

∵AO是⊙O的直徑，∴.

 ∴.

∴.

∵和是同圓中同弧所對(duì)的圓周角，

∴.

∴.

（學(xué)習(xí)過(guò)弦切角定理的直接得此）

∵AB=AC，∴.∴.∴AE∥BC.

又∵AB∥CD，∴四邊形ABCE是平行四邊形.

（2）如答圖2，連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB、CD于點(diǎn)N、M，

∵AE是⊙O的切線，

∴根據(jù)切割線定理，得，（沒學(xué)習(xí)切割線定理可由相似得到）

∵ AE=6，CD=5，∴，解得（已舍去負(fù)數(shù)）.

由圓的對(duì)稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且.

又根據(jù)對(duì)稱性和垂徑定理，知垂直平分，垂直平分.

設(shè)，

∵

∴.

易證，

∴.

兩式相加和相除，得.

又∵，∴.

∴OF的長(zhǎng)為.

‘

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；平行的判定；平行四邊形的判定和性質(zhì)；等腰梯形的判定和性質(zhì)；垂徑定理；相似判定和性質(zhì)；勾股定理.

【分析】（1）作輔助線，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于另一點(diǎn)G，連接CG，根據(jù)切線的性質(zhì)證明，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)和等量代換得到，從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結(jié)合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCE是平行四邊形.

（2）作輔助線，連接AO，交BC于點(diǎn)H，雙向延長(zhǎng)OF分別交AB、CD于點(diǎn)N、M，根據(jù)切割線定理求得，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對(duì)稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用證明，并由勾股定理列式求角即可.