Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD，連接DE交BC于點P．
（1）求證：PE=PD
（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的長．

Answer 1

（1）證明：過點D作DF∥AC交BC于點F，
∴∠ACB=∠DFB∠FDP=∠E
∵AB=AC（已知），
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠DFB，
∴DF=DB；
又∵CE=BD（已知），
∴CE=DF；
又∵∠DPF=∠CPE，
∴△ECP≌△DFP，
∴PE=PD；

（2）解：∵CE=BD，AC=AB，CE：AC=1：5（已知），
∴BD：AB=1：5，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴==；
∵BC=10，
∴BF=2，F(xiàn)C=8，
∵△DFP≌△ECP，
∴FP=PC，
∴PF=4，
則BP=BF+FP=6．
分析：（1）過點D作DF∥AC交BC于點F，由等腰三角形性質和平行線性質可得∠DBF=∠DFB，可推得DB=DF，由因為已知CE=BD，即可得DF=CE，通過AAS可得△DFP≌△ECP，即得到PE=PD．
（2）由已知條件易證得△BDF∽△BAC，且==，由BC=10，可得BF、EC的長；由△DFP≌△ECP可得PF的長，即可得BP的長．
點評：本題主要考查全等三角形全等的判定與性質及等腰三角形的性質；涉及到相似三角形、等腰三角形等知識點，是一道綜合題型，正確作出輔助線是解題的關鍵．