Question

如圖，已知拋物線y=-

2

3

x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交與A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且OA=1，OC=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且tan∠EOB=1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得△PBE為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA、OC的長，可得到點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）已知tan∠EOB=1，且點(diǎn)E在第一象限，那么可將點(diǎn)A的坐標(biāo)寫作（x，x）（x＞0），將其代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式能得到其對稱軸方程，先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，在已知點(diǎn)B、E的坐標(biāo)后，能求出PB、PE、BE三邊的長度表達(dá)式，然后分①PB=PE、②PB=BE、③PE=BE三種情況，列式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，A（-1，0）、C（0，2），代入y=-

2

3

x²+bx+c中，得：

- 2 3 -b+c=0 c=2

，
解得

b= 4 3 c=2

故拋物線的解析式：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，且tan∠EOB=1，
∴設(shè)點(diǎn)E（x，x）（x＞0），代入拋物線y=-

2

3

x²+

4

3

x+2中，得：
-

2

3

x²+

4

3

x+2=x，化簡，得：2x²-x-6=0
解得：x₁=2，x₂=-

3

2

（舍）；
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）．

（3）由（1）的拋物線解析式知，對稱軸：x=1，點(diǎn)B（3，0）；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，m），則：
PB²=（3-1）²+（0-m）²=m²+4，PE²=（2-1）²+（m-2）²=m²-4m+5，BE²=（3-2）²+（0-2）²=5
①若PB=PE，則有：m²+4=m²-4m+5，解得：m=

1

4

；
②若PB=BE，則有：m²+4=5，解得：m=±1；
③若PE=BE，則有：m²-4m+5=5，解得：m₁=0，m₂=4；
由B（3，0）、E（2，2）知，直線BE：y=-2x+6；
當(dāng)m=4時(shí)，P（1，4）正好在直線BE上，不能構(gòu)成三角形，故舍去；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（1，

1

4

）、（1，1）、（1，-1）、（1，0）．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；最后一題中，在等腰三角形的腰和底不明確的情況下，要分類進(jìn)行討論，此外，還要特別注意應(yīng)舍去三點(diǎn)共線的情況．