如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最?若存在,求出點D的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點,且位于直線AC的下方,試求△ACE的最大面積及E點的坐標.

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經過點A(1,0),點C(4,3),
,解得。
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3。
(2)存在。
∵點A、B關于對稱軸對稱,∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小。
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴拋物線的對稱軸為直線x=2。
設直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0),
,解得:。
∴直線AC的解析式為y=x﹣1。
當x=2時,y=2﹣1=1。
∴拋物線對稱軸上存在點D(2,1),使△BCD的周長最小。
(3)如圖,設過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m,

聯(lián)立,消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0。
由△=(﹣5)2﹣4×1×(3﹣m)=0得m=。
∴m=時,點E到AC的距離最大,△ACE的面積最大。
此時x=,y=。
∴點E的坐標為(,)。
設過點E的直線與x軸交點為F,則F(,0)。
∴AF=
∵直線AC的解析式為y=x﹣1,∴∠CAB=45°。
∴點F到AC的距離為。
又∵。
∴△ACE的最大面積,此時E點坐標為()。

解析試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可。
(2)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,然后根據軸對稱確定最短路線問題,直線AC與對稱軸的交點即為所求點D。
(3)根據直線AC的解析式,設出過點E與AC平行的直線,然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程,利用根的判別式△=0時,△ACE的面積最大,然后求出此時與AC平行的直線,然后求出點E的坐標,并求出該直線與x軸的交點F的坐標,再求出AF,再根據直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離,再求出AC間的距離,然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解。

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線的頂點為Q,與軸交于A(-1,0)、B(5, 0)兩點,與軸交于C點.
 
(1)直接寫出拋物線的解析式及其頂點Q的坐標;
(2)在該拋物線的對稱軸上求一點,使得△的周長最小.請在圖中畫出點的位置,并求點的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線的頂點為A,與y軸的交點為B,連結AB,AC⊥AB,交y軸于點C,延長CA到點D,使AD=AC,連結BD.作AE∥x軸,DE∥y軸.

(1)當m=2時,求點B的坐標;
(2)求DE的長?
(3)①設點D的坐標為(x,y),求y關于x的函數(shù)關系式?②過點D作AB的平行線,與第(3)①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P,當m為何值時,以,A,B,D,P為頂點的四邊形是平行四邊形?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

為了落實國務院的指示精神,某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策,使農民收入大幅度增加.某農戶生產經銷一種農產品,已知這種產品的成本價為每千克20元,市場調查發(fā)現(xiàn),該產品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關系:y=﹣2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關系式.
(2)該產品銷售價定為每千克多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28元,該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應定為每千克多少元?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B(5,0),另一個交點為A,且與y軸交于點C(0,5)。

(1)求直線BC與拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時,若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點P的坐標。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)的圖象經過點A(6,0)、B(﹣2,0)和點C(0,﹣8).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設該二次函數(shù)圖象的頂點為M,若點K為x軸上的動點,當△KCM的周長最小時,點K的坐標為   ;
(3)連接AC,有兩動點P、Q同時從點O出發(fā),其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動,點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動,當P、Q兩點相遇時,它們都停止運動,設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時,△OPQ的面積為S.
①請問P、Q兩點在運動過程中,是否存在PQ∥OC?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由;
②請求出S關于t的函數(shù)關系式,并寫出自變量t的取值范圍;
③設S0是②中函數(shù)S的最大值,直接寫出S0的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線交x軸的正半軸于點A,交y軸于點B,將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y2,兩條拋物線相交于點C.

(1)請直接寫出拋物線y2的解析式;
(2)若點P是x軸上一動點,且滿足∠CPA=∠OBA,求出所有滿足條件的P點坐標;
(3)在第四象限內拋物線y2上,是否存在點Q,使得△QOC中OC邊上的高h有最大值?若存在,請求出點Q的坐標及h的最大值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線經過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=﹣1.

(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;
(2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C(0,4),對稱軸x=2與x軸交于點D,頂點為M,且DM=OC+OD.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)設點P(x,y)是第一象限內該拋物線上的一個動點,△PCD的面積為S,求S關于x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若經過點P的直線PE與y軸交于點E,是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等?若存在,請求出直線PE的解析式;若不存在,請說明理由.

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