【題目】如圖,點(diǎn)O是等腰ABC的外心,AD是圓O的切線,切點(diǎn)為A,過點(diǎn)C作CD≡∥AB,交AD于點(diǎn)D.連接AO并延長交BC于點(diǎn)M,連接AD,交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P,且∠BCP=∠ACD.

(1)判斷直線PC與O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)若AB=12,BC=8.求PC的長.

【答案】(1)直線PC與圓O相切(2)PC=

【解析】

(1)過C點(diǎn)作直徑CE,連接EB,由CE為直徑得∠E+BCE=90°,由ABDC得∠ACD=BAC,而∠BAC=E,BCP=ACD,所以∠E=BCP,于是∠BCP+BCE=90°,然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論;

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAAD,而BCAD,則AMBC,根據(jù)垂徑定理有BM=CM=BC=4,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=12,在RtAMC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AM;

設(shè)⊙O的半徑為r,則OC=r,OM=AMrRtOCM中,根據(jù)勾股定理計(jì)算出r,求出CE=2r,OM,利用中位線性質(zhì)得BE=2OM,然后判斷RtPCMRtCEB,根據(jù)相似比可計(jì)算出PC.

(1)直線PC與圓O相切,理由為:

C點(diǎn)作直徑CE,連接EB,如圖,

CE為直徑,

∴∠EBC=90°,即∠E+BCE=90°,

ABDC,

∴∠ACD=BAC,

∵∠BAC=E,BCP=ACD.

∴∠E=BCP,

∴∠BCP+BCE=90°,即∠PCE=90°,

CEPC,

PC與圓O相切;

(2)AD是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,

OAAD,

BCAD,

AMBC,

BM=CM=BC=4,

AC=AB=12,

RtAMC中,AM==8

設(shè)圓O的半徑為r,則OC=r,OM=AM﹣r=8﹣r,

RtOCM中,OM2+CM2=OC2,即42+(8﹣r)2=r2,

解得:r=

CE=2r==9,OM=8=

BE=2OM=7,

∵∠E=MCP,

RtPCMRtCEB,

=,

=

PC=

練習(xí)冊系列答案
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試猜想BDAC的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;

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