Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若E，F(xiàn)是AC上兩動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C兩點(diǎn)以相同的速度向C、A運(yùn)動(dòng)，其速度為1cm/s．
（1）當(dāng)E與F不重合時(shí)，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明理由；
（2）若BD=12cm，AC=16cm，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

Answer 1

【答案】分析：（1）判斷四邊形DEBF是否為平行四邊形，需證明其對(duì)角線是否互相平分；已知了四邊形ABCD是平行四邊形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可證得BD、EF互相平分，即四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則必有BD=EF，可據(jù)此求出時(shí)間t的值．
解答：解：（1）當(dāng)E與F不重合時(shí)，四邊形DEBF是平行四邊形
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD；
∵E、F兩動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C兩點(diǎn)以相同的速度向C、A運(yùn)動(dòng)，
∴AE=CF；
∴OE=OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴當(dāng)BD=EF時(shí)，四邊形DEBF是矩形；
∵BD=12cm，
∴EF=12cm；
∴OE=OF=6cm；
∵AC=16cm；
∴OA=OC=8cm；
∴AE=2cm或AE=14cm；
由于動(dòng)點(diǎn)的速度都是1cm/s，
所以t=2（s）或t=14（s）；
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2s或14s時(shí)，以D、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．