Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，6），以A為頂點(diǎn)的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點(diǎn)（B在C左面），且∠BAC=45°．
（1）如圖1，連接OA，當(dāng)AB=AC時(shí)，試說明：OA=OB．
（2）過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，當(dāng)DC=2時(shí)，將∠BAC沿AC所在直線翻折，翻折后邊AB交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠BAO和∠ABC的讀數(shù)，然后利用等校對(duì)等邊即可證得；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，證明△BAD≌△MAF，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的橫坐標(biāo)；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，證明△BAD≌△MAF，同理，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°．
過點(diǎn)A作AE⊥OB于E，
則△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°．
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=22.5°．
∴∠BAO=67.5°=∠ABC，
∴OA=OB．
（2）設(shè)OM=x．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，
由∠BAM=∠DAF=90°，
可知：∠BAD=∠MAF；
∴在△BAD和△MAF中，

∠BDA=∠MAF AD=AF ∠BAD=∠MAF

，
∴△BAD≌△MAF．
∴BD=FM=6-x．
又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC=CM=8-x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC²+OM²=CM²，即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，連接CM，過點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD=FM=6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC=CM=4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC²+OM²=CM²，即8²+x²=（4+x）²，
解得：x=6，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，和勾股定理的應(yīng)用，正確進(jìn)行分情況討論，證明△BAD≌△MAF是關(guān)鍵．