Question

如圖，已知菱形ABCD外切于圓O，MN是與AD、CD分別交于M、N的任意一條切線．求證：AM•CN為定值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：先由菱形性質(zhì)得出∠OAM=∠NCO，再根據(jù)切線長定理和三角形內(nèi)角和求出∠AOM=∠CNO，證出△AOM∽△CNO，得出比例式

AM

CO

=

AO

CN

，證出AM•CN=2AO²為定值．

解答：證明：連接OM、ON；如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，∠OAM=

1

2

∠BAD，∠NCO=

1

2

∠BCD，
∴∠OAM=∠NCO，
∴∠1+∠2=∠3+∠4①，
∵⊙O是菱形ABCD的內(nèi)切圓，MN是⊙O的切線，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵∠1+∠3+∠MON=180°，∠5+∠6+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=∠5+∠6，
∴∠1+∠3=∠2+∠4②，
①+②得：2∠1=2∠4，
∴∠1=∠4，
∴△AOM∽△CNO，
∴

AM

CO

=

AO

CN

，
∴AM•CN=AO•CO=2AO²為定值．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．