Question

已知關(guān)于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b為實(shí)數(shù)．
（1）若此方程有一個(gè)根為2a（a＜0），判斷a與b的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵方程x²-2ax-a+2b=0有一個(gè)根為2a，
∴4a²-4a²-a+2b=0，
整理，得b=

a

2

，
∵a＜0，
∴a＜

a

2

，
即a＜b；

（2）△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
∵對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，
∴對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有4a²+4a-8b≥0，即a²+a-2b≥0，
∴對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有b≤

a2+a

2

，
∵

a2+a

2

=

1

2

（a+

1

2

）²-

1

8

，
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，

a2+a

2

有最小值-

1

8

，
∴b的取值范圍是b≤-

1

8

．