Question

如圖所示的平面直角坐標系中，有一條拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之和最�。咳舸嬖�，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），即可利用待定系數法求得二次函數的解析式；
（2）首先由A與B對稱，連接BC即可確定點P的坐標，然后求得直線BC的解析式，求與x=1的交點即可求得答案．
解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴，
解得：，
∴二次函數y=ax²+bx+c的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在．
令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴點A（-1，0），
∵點A與B關于x=1對稱，
∴連接BC，則直線BC與直線x=1的交點即為P點，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當x=1時，y=1-3=-2，
∴點P的坐標為（1，-2）．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式與兩點間距離最短的問題．此題難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．