Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)E為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，以AE為直徑作圓，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，直線FH交⊙O于點(diǎn)G．

1.求證：⊙O必經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；

2.若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD的中點(diǎn)，試證明：此時(shí)FH為⊙O的切線；

3.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，AE∥FH，求此時(shí)GF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

 

1.見解析

2.見解析

3.

解析:（1）證明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O為AE中點(diǎn)，

∴OD=AE，……2’

∴點(diǎn)D在⊙O上．

 

（2）證明：如圖，連結(jié)OF、EF．

易證AFED為矩形，

∴AF=DE．

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴F為AB的中點(diǎn)．·········· 3’

∴OF為△ABE的中位線，

∴OF∥EB．············· 4’

∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．········ 5’

∴FH為⊙O的切線．

 

（3）解：作OM⊥FG，連結(jié)OF．

∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．

易證△ADE∽△ECB，

由相似得：DE=2或8．

①當(dāng)DE=2時(shí)，

如圖，AF=2，F(xiàn)B=8，EB=4，AE=2．       6’

由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．

∴FG=2FM=．       7’

②當(dāng)DE=8時(shí)，

如圖，同上解法，可得OG=AE=2．· 8’

OM=EH=．

∴FG=2GM=