Question

已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．

（1）如圖①，當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于

 

時(shí)，∠PAD=60°；當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于

 

時(shí)，△PAD是等腰三角形；
（2）如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），試求2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此時(shí)a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用三角函數(shù)即可求得PA的長(zhǎng)；當(dāng)PA=PB時(shí)，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．
（2）過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長(zhǎng)FP交BC于點(diǎn)G，則PG⊥BC，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面積關(guān)系與二次函數(shù)的知識(shí)即可求得答案．

解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=

3

2

AB=2

3

，
∴當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于2

3

時(shí)，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，當(dāng)PA=PD時(shí)，
此時(shí)P位于四邊形ABCD的中心，
過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE=

1

2

AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2

2

，
當(dāng)PD=DA時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
連PD，令A(yù)B中點(diǎn)為O，再連DO，PO，DO交AP于點(diǎn)G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴

OA

AD

=

OG

AG

=

1

2

，
∴AG=2OG，
設(shè)AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

∴AG=2x=

4 5

5

，
∴AP=

8 5

5

∴當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于2

2

或

8 5

5

時(shí)，△PAD是等腰三角形；

（2）過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)延長(zhǎng)FP交BC于點(diǎn)G，
則PG⊥BC，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S₁=2a，S₂=2b，S₃=8-2a，
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴PE²=AE•BE，
即b²=a（4-a），
∴2S₁S₃-S₂²=4a（8-2a）-4b²=-4a²+16a=-4（a-2）²+16，
∴當(dāng)a=2時(shí)，b=2，2S₁S₃-S₂²有最大值16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．