Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為A（2，2），B（2，﹣2）．對于給定的線段AB及點P，Q，給出如下定義：若點Q關于AB所在直線的對稱點Q′落在△ABP的內部（不含邊界），則稱點Q是點P關于線段AB的內稱點．

（1）已知點P（4，﹣1）．

①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）兩點中，是點P關于線段AB的內稱點的是　 　；

②若點M在直線y＝x﹣1上，且點M是點P關于線段AB的內稱點，求點M的橫坐標xM的取值范圍；

（2）已知點C（3，3），⊙C的半徑為r，點D（4，0），若點E是點D關于線段AB的內稱點，且滿足直線DE與⊙C相切，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①Q1；②0＜xM＜2，（2）＜r≤．

【解析】

（1）①利用內對稱點的意義即可得出結論；

②先判斷出點O關于直線AB的對稱點P'在直線y＝x﹣1上，即可判斷出結論；

（2）判斷出DE與圓C相切時，圓C最大的半徑和最小的位置，計算即可得出結論．

解：（1）①

作出圖形，由內對稱點的意義得，點P關于線段AB的內稱點的是Q1，

故答案為Q1；

②如圖2，

點P（4，﹣1）關于AB所在直線的對稱點P'（0，﹣1），此時，點P'恰好在直線y＝x﹣1上，

∵點M是點P關于線段AB的內對稱點，

∴點M關于AB所在直線的對稱點M'落在△ABP內部（不含邊界），

∵點M在直線y＝x﹣1上，

∴點M應在線段P'G上（點G為線段AB與直線y＝x﹣1的交點），且不與兩個端點P'，G重合，

∴0＜xM＜2，

（2）如圖3，

∵點E是點D關于線段AB的內稱點，

∴點E關于AB所在直線的對稱點E'應在△ABD內部（不含邊界），

∵點D關于AB所在直線的對稱點為原點O，

∴點E應在△ABO的內部（不含邊界），

∵A（2，2），C（3，3），D（4，0），

∴AC＝，AD＝2，CD＝，

∴AC2+AD2＝CD2，

∴∠CAD＝90°，

∴AC⊥AD，

此時，直線DA與以AC為半徑的⊙C相切，半徑AC＝，

當直線DE與以CD為半徑的⊙C相切，點D為切點，⊙C的半徑最大，最大值為，

∴符合題意的⊙C的半徑r的取值范圍是＜r≤．