Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)0、B的坐標(biāo)分別是O（0，0）、B（8，4），頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，把△OAB沿OB翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置，BD與OA交于E．
①求證：OE=EB；
②求OE、DE的長度；
③求直線BD的解析．

Answer 1

分析：①根據(jù)矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠OBC=∠BOE=∠OBE，即可證得；
②可設(shè)OE=x，則AE=DE=8-x，則在直角△EAB中，根據(jù)勾股定理，可求出x，即可解答出；
③如圖，作DF⊥OE，根據(jù)直角三角形的面積，可求出DF，再根據(jù)勾股定理，可求出OF，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法，即可求得直線BD的解析式．

解答：①證明：在矩形OABC中，∠OBC=∠BOE，
∵△OCB≌△ODB，
∴∠CBO=∠DBO，
∴∠BOE=∠OBE，
∴OE=EB；

②解：由①可得，BD=BC=OA=8，
∴AE=DE，
設(shè)OE=BE=x，則AE=DE=8-x，
∴在直角△EAB中，（8-x）²+4²=x²，
解得，x=5，則8-x=8-5=3，
∴OE=5，DE=3；

③解：如圖，作DF⊥OE，垂足為F
∴在直角△ODE中，OD=4，
∴DF=

3×4

5

=

12

5

，
∴OF=

OD2-DF2

=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

16

5

，-

12

5

），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∴

4=8k+b - 12 5 = 16 5 k+b

，
解得，

k= 4 3 b=- 20 3

，
∴直線BD的解析式為：y=

4

3

x-

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、勾股定理和一次函數(shù)解析式的求法，本題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．