Question

若關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數(shù)根x₁，x₂，且x₁＜x₂，有下列結(jié)論：
①x₁=2，x₂=3；②m＞-

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；③當(dāng)m＞0時，x₁＜2＜3＜x₂；④二次函數(shù)y=（x-x₁）（x-x₂）+m圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）．
其中一定成立的結(jié)論是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可對選項②進行判斷；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；將選項④中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關(guān)系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數(shù)解析式，令y=0，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，即可對選項③進行判斷．

解答：解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-

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，故選項②正確；
∵一元二次方程實數(shù)根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而選項①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；
二次函數(shù)y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項④正確．
當(dāng)m＞0時，轉(zhuǎn)化為（x-2）（x-3）＞0的不等式，解得x₁＜2＜3＜x₂
故選項③
綜上所述，正確的結(jié)論有3個：②③④．
故選B．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式的運用，是中考中常考的綜合題．