Question

如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓O上，過點C作圓O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若點F在圓O上，CF⊥AB，垂足為E，CF=4

3

，求弧CB與線段CE及EB所圍成圖形的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，而∠D=30°，根據(jù)互余得到∠COB=60°，然后根據(jù)圓周角得到計算∠A的度數(shù)；
（2）根據(jù)垂徑定理．由CF⊥直徑AB得到CE=

1

2

CF=2

3

，在Rt△OCE中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OE=

3

3

CE=2，OC=2OE=4，然后根據(jù)扇形面積公式和弧CB與線段CE及EB所圍成圖形的面積=S_扇形BOC-S_△OCE進行計算即可．

解答：解：（1）連接OC，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵∠D=30°，
∴∠COB=60°，
∴∠A=

1

2

∠COB=30°；
（2）∵CF⊥直徑AB，
∴CE=EF，
∴CE=

1

2

CF=2

3

，
在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，
∴OE=

3

3

CE=2，
OC=2OE=4，
∴弧CB與線段CE及EB所圍成圖形的面積
=S_扇形BOC-S_△OCE
=

60•π•42

360

-

1

2

×2×2

3

=

8

3

π-2

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和扇形的面積公式．