Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若點(diǎn)E是半圓的中點(diǎn)，AD和⊙O交于點(diǎn)F，AF=6，連接FE，交AC于點(diǎn)G，連結(jié)OG，求S_△AOG．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,切線長定理

專題：

分析：（1）由CD與⊙O相切，AD⊥CD，可得AD∥OC，繼而可得∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）首先連接BF，過點(diǎn)G分別作GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，垂足為點(diǎn)P、M、N，可證得四邊形MGNF是矩形，繼而可得矩形MGFN是正方形，然后設(shè)設(shè)MF=a，則由切線長定理得：AM=AP=6-a，BN=BP=8-a，由AP+BP=AB，可得：（6-a）+（8-a）=10，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD．
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OA、OC為⊙O半徑，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠CAD=∠CAO，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：連接BF，過點(diǎn)G分別作GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，垂足為點(diǎn)P、M、N，
∵AB是⊙O直徑，半徑為5，
∴∠AFB=90°，AB=10，
在Rt△AFB中由勾股定理得：BF=8，
∵GM⊥AD，GN⊥FB，
∴∠GMF=∠GNF=∠AFB=90°，
∴四邊形MGNF是矩形，
∵點(diǎn)E是半圓的中點(diǎn)，
∴∠AFE=∠BFE，
∴EF平分∠AFB，
∴GM=GN，
∴矩形MGFN是正方形，
∴MF=FN=MG=GN，
又∵AC平分∠DAB，
∴點(diǎn)G為⊙O的內(nèi)心，
又∵GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，
∴點(diǎn)P、M、N為△ABF與內(nèi)切圓⊙G的切點(diǎn)，且GP=GM=GN，
∴設(shè)MF=a，則由切線長定理得：AM=AP=6-a，BN=BP=8-a，
由AP+BP=AB，可得：（6-a）+（8-a）=10，
解得：a=2，
∴FM=GP=2，
∴S_△AOG=

1

2

OA•GP=

1

2

×5×2=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、切線長定理以及內(nèi)切圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．