Question

如圖，△ABC中，∠B=∠C=30°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O恰與BC邊相切，⊙O交AB于E，交AC于F．過O點(diǎn)的直線MN分別交線段BE和CF于M，N，若AN：NC=2：1，則AM：MB的值為（　�。�

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．3：5

Answer 1

分析：連接OE、OF．設(shè)AB=AC=x．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)以及圓的對(duì)稱性求得AE=OE=AF=OF=

1

4

AB；然后由平行線的判定與平行線截線段成比例求得ME：AE=3：5，所以BM=AB-AM=

3

5

x，據(jù)此可以求得AM：MB的值．

解答：解：連接OE、OF．
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC（等角對(duì)等邊）；
又∵AD是⊙O的直徑，BC邊且⊙O于點(diǎn)D，
∴AE=AF（⊙O的對(duì)稱性），AD⊥BC（切線的性質(zhì)），
∴∠DAB=∠DAC=60°（等腰三角形的性質(zhì)）；
設(shè)AB=AC=x，則AD=

1

2

AB=

x

2

（30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半），
∴AE=OE=AF=OF=

x

4

．
∵∠DAC=∠EOA=60°，
∴OE∥AC，
∴ME：MA=OE：AN；
∵AN：NC=2：1，
∴AN=

2

3

x，
∴OE：AN=

x

4

：

2

3

x=3：8，
∴ME：（AE+EM）=3：8，
∴ME：AE=3：5，
∴AM=AE+ME=

2

5

x，
∴BM=AB-AM=

3

5

x，
∴AM：MB=2：3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例、等腰三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．利用平行線分線段成比例定理解題時(shí)，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，以免計(jì)算錯(cuò)誤．