【題目】(12分)如圖1,已知Rt△ABC中,AB=BC,AC=2,把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),點C在DE上,點B在DF上.
(1)求重疊部分△BCD的面積;
(2)如圖2,將直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉30度,DE交BC于點M,DF交AB于點N.
①求證:DM=DN;
②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎?若發(fā)生變化,請求出重疊部分的面積,若不發(fā)生變化,請說明理由;
(3)如圖3,將直角三角板DEF繞D點按順時針方向旋轉α度(0<α<90),DE交BC于點M,DF交AB于點N,則DM=DN的結論仍成立嗎?重疊部分的面積會變嗎?(請直接寫出結論,不需要說明理由)
【答案】(1) (2)①見解析 ②不變 (3) 仍成立,不變
【解析】試題分析:(1)重疊部分△BCD是一個等腰直角三角形,求出其直角邊,即可求解,
(2)連接BD,根據等腰直角三角形的性質可得: ∠C=∠ABD=45°,CD=BD,
又因為∠CDM+∠BD M=∠BDN+∠BDM=90°,所以∠CDM =∠BDN,
根據角邊角可以判定△CDM≌△BDN,所以重疊部分四邊形的面積等于△BCD的面積,即面積不變,
(3)連接BD,根據(2)中的解題思路可證△CDM≌△BDN,所以重疊部分四邊形的面積等于△BCD的面積,即面積不變.
試題解析: (1)∵AB=BC,AC=2,D是AC的中點,
∴CD=BD=AC=1,BD⊥AC.
∴S△BCD=CD·BD=×1×1=.
(2)①證明:連接BD,則BD垂直平分AC.
∴BD=CD,∠C=∠NBD=45°,
又∵∠CDM=∠BDN,
∴△CDM≌△BDN(ASA).
∴DM=DN.
②由①知△CDM≌△BDN,∴S四邊形BNDM=S△BCD=,即此條件下重疊部分的面積不變,為.
(3)DM=DN的結論仍成立,重疊部分的面積不會變.
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【題目】一次數學課上,小明同學給小剛同學出了一道數形結合的綜合題,他是這樣出的:如圖,數軸上兩個動點 M,N 開始時所表示的數分別為﹣10,5,M,N 兩點各自以一定的速度在數軸上運動,且 M 點的運動速度為2個單位長度/s.
(1)M,N 兩點同時出發(fā)相向而行,在原點處相遇,求 N 點的運動速度.
(2)M,N 兩點按上面的各自速度同時出發(fā),向數軸正方向運動,幾秒時兩點相距6個單位長度?
(3)M,N 兩點按上面的各自速度同時出發(fā),向數軸負方向運動,與此同時,C 點從原點出發(fā)沿同方向運動,且在運動過程中,始終有 CN:CM=1:2.若干秒后,C 點在﹣12 處,求此時 N 點在數軸上的位置.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,有若干個橫坐標分別為整數的點,其順序按圖中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),….根據這個規(guī)律,第2 025個點的坐標為________.
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【題目】某班組織了一次讀書活動,統(tǒng)計了16名同學在一周內的讀書時間,他們一周內的讀書時間累計如表,則這16名同學一周內累計讀書時間的中位數是 .
一周內累計的讀書時間(小時) | 5 | 8 | 10 | 14 |
人數(個) | 1 | 7 | 5 | 3 |
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【題目】已知關于x的方程x2+ax+a﹣2=0.
(1)若該方程的一個根為2,求a的值及該方程的另一根.
(2)求證:不論a取何實數,該方程都有兩個不相等的實數根.
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【題目】如圖,E、B、F、C四點在一條直線上,EB=CF ,∠A =∠D,添以下哪一個條件仍不能證明△ABC ≌△DEF的是( )
A. ∠DEF=∠ABC B. DF∥AC C. AB∥DE D. AB =DE
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【題目】如圖,書桌上的一種新型臺歷和一塊主板AB、一個架板AC和環(huán)扣(不計寬度,記為點A)組成,其側面示意圖為△ABC,測得AC⊥BC,AB=5cm,AC=4cm,現(xiàn)為了書寫記事方便,須調整臺歷的擺放,移動點C至C′,當∠C′=30°時,求移動的距離即CC′的長(或用計算器計算,結果取整數,其中 =1.732, =4.583)
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+2x﹣3,把此拋物線沿y軸向上平移,平移后的拋物線和原拋物線與經過點(﹣2,0),(2,0)且平行于y軸的兩條直線所圍成的陰影部分的面積為s,平移的距離為m,則下列圖象中,能表示s與m的函數關系的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是12m,寬是4m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=﹣ x2+bx+c表示,且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時,到地面OA的距離為 m.
(1)求該拋物線的函數關系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內設雙向行車道,那么這輛貨車能否安全通過?
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?
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