【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),點(diǎn)重合),沿折疊該紙片,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),連接

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在第一象限,且時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí);

①求證:;

②直接寫出四邊形的面積;

3)當(dāng)時(shí),直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】1;(2)①見解析;②;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)(,)或(,).

【解析】

1)由點(diǎn)AB的坐標(biāo)得出OA=,OB=2,由折疊的性質(zhì)得:OA'=OA=,由勾股定理求出A'B=,即可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(2);

2)①由直角三角形斜邊上的中線得∠1=2=30゜,由折疊得∠3=4=30゜,故可得,從而可得結(jié)論;

②由折疊得,根據(jù)直角三角形中30゜角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得,進(jìn)一步可求出四邊形的面積;

3)分兩種情況:①易得∠APA'=150°,連接AA′,延長OPAA′E,則∠APE=75°,∠OPB=75°,求出AB=,則∠BAO=30°,∠OBA=60°,推出∠BA′P=30°,∠OPA′=105°,得出∠A′OP=45°,則點(diǎn)A'y軸上,∠A'OP=AOP=AOB=45°,得出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+2,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);

②由折疊的性質(zhì)得:∠A'=A=30°OA'=OA,作出四邊形OAPA'是菱形,得出PA=OA=,作PMOAM,由直角三角形的性質(zhì)求出PM=PA=,把y=代入y=-x+1求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可.

(1): ,

,.

折疊得到,

,

,

中,

.

2)①證明:如圖,在中,,

的中點(diǎn),即為中線,

,

,

.

又∵ 折疊得到,

,,

,

.

.

,

.

②過點(diǎn)作軸,

RtABO中,OA=,OB=2,

AB=

PAB的中點(diǎn),

AP=BP=2,OP=AB=2,

OB=OP=BP

,

OBPA',

∴四邊形OPA'B是平行四邊形,

由①得,

∴四邊形OPA'B的面積為;

3)設(shè)Px,y),分兩種情況:

①∵∠BPA'=30°,

∴∠APA'=150°,

連接AA′,延長OPAA′E,如圖③所示:

則∠APE=75°,

∴∠OPB=75°,

OA=OB=1,

AB==4,

∵∠OBA=60°

∵∠BPA'=30°,

∴∠OPA′=105°

∴∠A′OP=180°-30°-105°=45°,

∴點(diǎn)A'y軸上,

∴∠A'OP=AOP=AOB=45°,

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

把點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B0,1)代入得:

,

解得:,

∴直線AB的解析式為y=-x+2,

∵點(diǎn)P在∠AOB的一部分線上

Pxx),

x=-x+2,

解得:x=

P,);

②如圖④所示:

由折疊的性質(zhì)得:∠A'=A=30°,OA'=OA,

∵∠BPA'=30°,

∴∠A'=A=BPA'

OA'AP,PA'OA,

∴四邊形OAPA'是菱形,

PA=OA=

PMOAM,如圖④所示:

∵∠A=30°

PM=PA=,

y=代入y=-x+2得:=-x+2

解得:x=,

P);

綜上所述:當(dāng)∠BPA'=30°時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,).

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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AC上,以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求線段DE的長.

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(2)求∠APB的度數(shù).

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(2)求該函數(shù)圖象與x標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)指出x為何值時(shí),;當(dāng)x為何值時(shí),.

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【題目】如圖,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AD⊥BC,垂足為D,弧AE等于弧AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G.
(1)判斷△FAG的形狀,并說明理由;
(2)若點(diǎn)E和點(diǎn)A在BC的兩側(cè),BE、AC的延長線交于點(diǎn)G,AD的延長線交BE于點(diǎn)F,其余條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AC,連接BC,作△ABC的外接圓⊙O,點(diǎn)P為劣弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB,CP相交于點(diǎn)D.

(1)求∠APB的大;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),PD⊥AB?并求此時(shí)CD:CP的值;
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,比較PC與AP+PB的大小關(guān)系,并對(duì)結(jié)論給予證明.

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【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)(0<x1<x2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)設(shè)AB=2,tan∠ABC=4,求該拋物線的解析式;
(2)在(1)中,若點(diǎn)D為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△BCD的面積最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)是否存在整數(shù)a,b使得1<x1<2和1<x2<2同時(shí)成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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(2)求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,C的坐標(biāo);
(3)求△AOC的面積.

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1)求購買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需多少元;

2)根據(jù)該中學(xué)實(shí)際情況,需從公司購買AB兩種型號(hào)的小黑板共60塊,要求購買AB兩種型號(hào)小黑板的總費(fèi)用不超過5240元.并且購買A型小黑板的數(shù)量不小于購買B型小黑板數(shù)量的.則該中學(xué)從公司購買A,B兩種型號(hào)的小黑板有哪幾種方案.哪種方案的總費(fèi)用最低.

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