【題目】如圖,將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AC,連接BC,作△ABC的外接圓⊙O,點P為劣弧 上的一個動點,弦AB,CP相交于點D.

(1)求∠APB的大;
(2)當點P運動到何處時,PD⊥AB?并求此時CD:CP的值;
(3)在點P運動過程中,比較PC與AP+PB的大小關(guān)系,并對結(jié)論給予證明.

【答案】
(1)解:∵AB=AC,∠BAC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∵∠APB+∠ACB=180°,

∴∠APB=120°


(2)解:當點P運動到 的中點時,PD⊥AB,

如圖1,連接PC,OA,OB,設(shè)⊙O的半徑為r,則CP=2r,

又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓,

∴∠OAB=30°,

在Rt△OAD中,

∵OD= OA= ,

∴CD= +r= ,

∴CD:CP= :2r=3:4


(3)解:PC=AP+PB

證明:方法一:

如圖2,在AP的延長線上取點Q,使PQ=PB,連接BQ,

∵∠APB=120°,

∴∠BPQ=60°,

∴△BPQ是等邊三角形,

∴PB=BQ,

∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP,

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP,

∴∠ABQ=∠CBP,

在△ABQ和△CBP中,PB=QB,∠CBP=∠ABQ,CB=AB,

∴△ABQ≌△CBP,

∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB;

方法二:如圖3,B為圓心,BP為半徑畫圓交CP于點M,連接BM,

∵∠CPB=60°,

∴△PBM是等邊三角形,

∵∠CMB=120°,

∴∠CMB=∠APB,

∴△APB≌△CMB,

∴PC=AP+PB;

方法三:(略證)如圖4,以A為圓心,A為半徑畫圓交CP于N,連接AN,

先證△APN是等邊三角形,再證△ANC≌△APB,

從而PC=AP+PB.


【解析】(1)先根據(jù)題意判斷出△ABC是等邊三角形,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)可知∠APB+∠ACB=180°,進而可得出結(jié)論;(2)連接PC,OA,OB,設(shè)⊙O的半徑為r,則CP=2r,根據(jù)⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可用r表示出OD,CD的值,進而得出結(jié)論;(3)在AP的延長線上取點Q,使PQ=PB,連接BQ,可判斷出△BPQ是等邊三角形,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】請把下面證明過程補充完整

如圖,已知ADBCD,點EBA的延長線上,EGBCC,交AC于點F,∠E=∠1.求證:AD平分∠BAC

證明:∵ADBCD,EGBCG ),

∴∠ADC=∠EGC90° ),

ADEG ),

∴∠1=∠2 ),

_____=∠3 ),

又∵∠E=∠1(已知),∴∠2=∠3 ),

AD平分∠BAC

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1)點(20)的“2族衍生點”的坐標為   ;

2)若點A的“3族衍生點”B的坐標是(1,5),則點A的坐標為   ;

3)若點A(x,0)(其中x≠0),點A的“m族衍生點“為點B,且ABOA,求m的值;

4)若點A(xy)的“m族衍生點”與“﹣m族衍生點”都關(guān)于y軸對稱,則點A的位置在   

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【題目】元旦期間,某商場搞優(yōu)惠促銷活動,其活動內(nèi)容是:凡在本商場一次性購物超過100元者,超過100元的部分按9折優(yōu)惠.在此活動中,李明到該商場為單位一次性購買單價為60元的辦公用品x(x2)件,則應(yīng)付款y()與商品件數(shù)x()之間的關(guān)系式是( )

A.y54xB.y54x10

C.y54x90D.y54x45

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【題目】將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中,是坐標原點,點坐標為,點坐標為,,點是邊上一點(不與點,點重合),沿折疊該紙片,點的對應(yīng)點為點,連接

1)如圖1,當點在第一象限,且時,求點的坐標;

2)如圖2,當點的中點時;

①求證:;

②直接寫出四邊形的面積;

3)當時,直接寫出點的坐標.

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【題目】某種洗衣機在洗滌衣服時,經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程,其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y()與時間x(分鐘)之間的關(guān)系如折線圖所示.根據(jù)圖象解答下列問題:

(1)洗衣機的進水時間是多少分鐘?清洗時洗衣機中水量為多少升?

(2)已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升.

①求排水時洗衣機中的水量y()與時間x(分鐘)與之間的關(guān)系式;

②如果排水時間為2分鐘,求排水結(jié)束時洗衣機中剩下的水量.

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1)求證:OEOF;

2)當點 O 在邊 AC 上運動到什么位置時,四邊形 AECF 是矩形?并說明理由.

3)若 AC 邊上存在點 O,使四邊形 AECF 是正方形,猜想ABC 的形狀并證明你的結(jié)論.

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