Question

兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進(jìn)行如下操作：
（1）如圖，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積．

（2）如圖，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

（3）如圖，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，請你求出sinα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE，再結(jié)合兩條平行線間的距離相等，則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積．根據(jù)60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的長，從而求得其面積；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個(gè)菱形；
（3）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H，可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)三角形ADE的面積的不同計(jì)算方法，可以求得DH的長，進(jìn)而求解．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=；

（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根據(jù)平移的性質(zhì)得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H，則S_△ADE=•1•=，
又S_△ADE=AE•DH=，
DH==，
∴在Rt△DHE′中，sinα==．
點(diǎn)評：綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．