Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P為⊙O外一點，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E兩點，并與AB、AC分別交于點M、N．
（1）求證：DN•NE=MN•NP．
（2）若PD∥CB，求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

（1）證明：在△ANM和△PNC中，∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，
∴△ANM∽△PNC，
∴，
即AN•NC=MN•NP；

（2）證明：由（1）知△ANM∽△PNC，
∴∠PCA=∠AMP，
又∵PD∥BC，
∴∠AMP=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC，
則∠GBC=90°，且∠ACG=∠ABG
∴∠PCA+∠ACG=∠ABC+∠ABG=∠GBC=90°
∴∠PCG=90°，
∵CG為⊙O的直徑，
∴PC是⊙O的切線．
分析：（1）由題目所給的條件可知：∠ANM=∠PNC，∠CPD=∠A，所以△ANM∽△PNC，由相似三角形的性質(zhì)可知：，即AN•NC=MN•NP；
（2）由（1）知△ANM∽△PNC，所以∠PCA=∠AMP，又因為PD∥BC，所以∠AMP=∠ABC，所以∠PCA=∠ABC，再證明∠PCG=90°即可證明PC是⊙O的切線．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．圓周角定理以及切線的判定，要求學生善于觀察圖形尋找角與角之間存在的關(guān)系，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，是一道中檔題．