Question

無論k取任何實(shí)數(shù)，對于直線y=kx都會經(jīng)過一個固定的點(diǎn)（0，0），我們就稱直線y=kx恒過定點(diǎn)（0，0）．
（1）無論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點(diǎn)A（x₀，y₀），直接寫出定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）已知△ABC的一個頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)A（x₀＞0），且∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線y=x，求邊BC所在直線的表達(dá)式；
（3）求△ABC內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）無論m為任何實(shí)數(shù)拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點(diǎn)A（x₀，y₀），也就是說整理后m的系數(shù)等于0；
（2）由已知條件易求點(diǎn)A（x₀＞0）坐標(biāo)，因為∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，所以點(diǎn)B、點(diǎn)C在點(diǎn)A關(guān)于y軸、直線y=x的對稱點(diǎn)所確定的直線上．
作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D（-3，-1），作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)E（-1，3），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，把D，E點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k和b的值即可；
（3）過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，則OF即為△ABC內(nèi)切圓的半徑，設(shè)BC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5），由三角形的面積為的值即可求出內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：（1）∵y=mx²-（1+3m）x+2=mx²-x-3mx+2，
=（x²-3x）m-x+2，
∴若要無論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=mx²-（1+3m）x+2恒過定點(diǎn)A（x₀，y₀），則x²-3x=0，
∴x=0或3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），（3，-1）．

（2）∵△ABC的一個頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)A（x₀＞0），
∴A（3，-1）．
∵∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，
∴點(diǎn)B、點(diǎn)C在點(diǎn)A關(guān)于y軸、直線y=x的對稱點(diǎn)所確定的直線上．
作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D（-3，-1），作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)E（-1，3）．
直線DE與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，與直線y=x的交點(diǎn)即為點(diǎn)C．連接AB，AC．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b．
則有

3=-k+b -1=-3k+b.

解之，得

k=2 b=5.

所以，y_BC=2x+5．

（3）∵∠B，∠C的角平分線所在直線分別是y軸和直線y=x，y軸和直線y=x的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心．
過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，則OF即為△ABC內(nèi)切圓的半徑．
設(shè)BC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5）．
∴BG=

5 5

2

．
∵S△BOG=

1

2

•OB•OG=

1

2

•GB•OF，
∴OF=

5

，即△ABC內(nèi)切圓的半徑為

5

．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形的面積公式運(yùn)用、軸對稱的性質(zhì)以及新定義的問題，題目的綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高．