Question

已知，如圖，E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點，延長EF到D，使得DF=EF，連接DA，DC，AE．
（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；
（2）若AB=AC，試證明四邊形AECD是矩形．

Answer 1

證明：（1）∵E、F分別為△ABC的邊BC、CA的中點，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵DF=EF，
∴EF=DE，
∴AB=DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形；

（2）∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AB=AC，AB=DE，
∴AC=DE，
∴四邊形AECD是矩形．

或∵DF=EF，AF=CF，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形AECD是矩形．
分析：（1）由已知可得：EF是△ABC的中位線，則可得EF∥AB，EF=AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABED是平行四邊形；
（2）由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得四邊形AECD是矩形．
點評：此題考查了平行四邊形的判定（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）、矩形的判定（對角線相等的平行四邊形是矩形）以及三角形中位線的性質(zhì)（三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半）．解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析圖形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．