Question

如圖，△ABC中，∠BAC為銳角，以AB、AC向內作正△ABD、正△ACF，以BC為邊向下作正△BCE，連接ED、EF．
（1）判斷四邊形ADEF的形狀，并證明你的結論．
（2）三角形ABC滿足什么條件，四邊形ADEF為正方形？（直接寫出結論即可）
（3）若∠BAC=30°，其他條件不變，連接AE，則線段AB、AC、AE之間具有怎樣的數(shù)量關系？（直接寫出結論即可）

Answer 1

解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．
理由如下：在正△ABD，正△BCE中，
AB=BD，BC=BE，∠ABD=60°，∠CBE=60°，
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°，
∠CBE=∠DBE+∠DBC=60°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC與△DBE中，，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=DE，
又∵△ACF是正三角形，
∴AC=AF，
∴AF=DE，
同理可證AD=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）若四邊形ADEF為正方形，
則AF=AD，∠DAF=90°，
∵AF=AC，AD=AB，
∴AB=AC，
∵∠BAC+∠BAF=∠BAC+∠DAC=60°，
∴∠BAF=∠DAC=∠DAF-60°=90°-60°=30°，
∴∠BAC=60°-30°=30°，
∴當△ABC為頂角∠BAC=30°的等腰三角形時，四邊形ADEF為正方形；

（3）根據(jù)（2）的結論，當∠BAC=30°時，∠DAF=90°，
∴四邊形ADEF為矩形，
∴AE²=AB²+AC²．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是60°，可以證明AB=BD，∠ABC=∠DBE，利用邊角邊定理可以證明△ABC與△DBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到AC=DE，又AC=AF，所以DE=AF，同理可證EF=AD，根據(jù)兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形考慮，AF=AD，所以AB=AC，又∠BAC=60°-∠BAF=60°-∠DAC，∠DAF=90°，列式進行計算即可求出∠BAC=30°時，是正方形；
（3）根據(jù)（2）的結論，∠BAC=30°時，四邊形ADEF為矩形，根據(jù)勾股定理得解．
點評：本題考查了正方形的判定，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，綜合性較強，從復雜圖形中找出全等三角形并根據(jù)等邊三角形的性質找出全等的條件是解題的關鍵，圖形識別難度較大．