Question

如圖，拋物線y=-x²-x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（-3，0）．
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點E在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點E作EG⊥x軸，交直線AB于點F，交拋物線于點G．設(shè)點E移動的時間為t秒，GF的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點E與點O、C重合的情況），連接CF，BG，當t為何值時，四邊形BCFG為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）B、C的橫坐標相同，將該橫坐標代入拋物線的解析式中能確定B的坐標，點A的坐標易知，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．
（2）首先根據(jù)E點的運動速度和運動時間，能求出OE長，即可得到E點橫坐標，再將其代入直線AB和拋物線的解析式中得到F、G的坐標，由此求出線段GF的長度s和t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）從圖中可以明顯看出：BC∥FG，若四邊形BCFG是平行四邊形，必須滿足的條件是：BC=FG，據(jù)此列方程求出t的值；判斷此時該平行四邊形是否為菱形時，只需取BC是否與CF相等進行驗證即可．
解答：解：（1）由拋物線的解析式知：A（0，1）；
∵BC⊥x軸，且點C（-3，0）
∴點B的橫坐標為-3，將其代入拋物線的解析式中，得：
-×9+×3+1=
∴點B（-3，）；
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+1，有：
-3k+1=，k=-
∴直線AB：y=-x+1．

（2）由題意，OE=t，則點E（-t，0）；（0≤t≤3）
當x=-t時，點F（-t，t+1），點G（-t，-t²+t+1）
∴GF=|（-t²+t+1）-（t+1）|=-t²+t
即：s=-t²+t（0≤t≤3）．

（3）因為BC⊥x軸，GE⊥x軸，所以BC∥GF；
若四邊形BCFG是平行四邊形，那么BC=FG，即：
s=-t²+t=，解得：t=1或2．
當t=1時，點F（-1，），CF==，即CF=BC，該平行四邊形是菱形；
當t=2時，點F（-2，2），CF==，即CF≠BC，該平行四邊形不是菱形；
綜上，當t=1或2時，四邊形BCFG是平行四邊形，其中t=1時，該平行四邊形是菱形．
點評：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用以及特殊四邊形的性質(zhì)和判定，總體難度較為適中，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．