Question

【題目】唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們稱之為“飲馬問(wèn)題”．如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問(wèn)題時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小．

解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)．

（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決“飲馬問(wèn)題”的圖形；

（2）利用軸對(duì)稱作圖解決“飲馬問(wèn)題”的依據(jù)是　 　．

（3）應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），使△PCD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出草圖，并求出△PCD周長(zhǎng)的最小值；

②如圖3，點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)B（1，6）在第一象限，在x軸、y軸上是否存在點(diǎn)D、點(diǎn)C，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)畫出草圖，并求其最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（3）△PCD的周長(zhǎng)=12；四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為+5．

【解析】

(1) 詳見(jiàn)圖

(2) 依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短;

(3) ①分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長(zhǎng)最小，可得△MON為等邊三角形，可得△PCD的周長(zhǎng)；

②點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，﹣2），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，6），連接EF交x軸、y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)C，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，BC=BE，DA=DF，可得四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值.

解：（1）如圖所示：

（2）

利用軸對(duì)稱作圖解決“飲馬問(wèn)題”的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，

故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；

（3）

①分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，

連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長(zhǎng)最小，

連接OM、ON，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，

∠MON=2∠AOB=60°，

∴△MON為等邊三角形，

∴MN=12，

∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②

點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，﹣2），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，6），

連接EF交x軸、y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)C，

則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，BC=BE，DA=DF，

∴BC+CD=AD=EC+CD+DF=EF==，

AB==5，

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為+5．