Question

如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④為定值．其中一定成立的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由題可知A，B，N，M四點共圓，進而可得出∠ANM=∠NAM=45°，由等角對等邊知，AM=MN，故①正確；
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出結論，故②正確；
先由題意得出四邊形SMWB是正方形，進而證出△AMS≌△NMW，因為AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以==，故③正確．
因為∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ=90°，BN=NU，DQ=UQ，即可得出結論，故④正確；
解答：解：如圖：作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四點共圓，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴由等角對等邊知，AM=MN，故①正確．
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=AC=BD，故②正確，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴三角形ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度至ABR，使AD和AB重合，在連接AN，證明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ
則BN=NU，DQ=UQ，
∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正確．
如圖，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，
∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：，
∴==，故④正確．
故選D．
點評：本題利用了正方形的性質(zhì)，四點共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．