Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=4，點E在AB邊上，BE=3，∠CED=90°．
（1）求CE的長度；
（2）求證：△ADE≌△BEC；
（3）設(shè)點P是線段AB上的一個動點，求DP+CP的最小值是多少？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1））由∠B=90°，BC=4，BE=3，根據(jù)勾股定理求出CE；
（2）先證出∠DEA=∠ECB，即可證明△ADE≌△BEC；
（3）作點D關(guān)于AB的對稱點F，連接CF交AB于點P，再用勾股定理求出CF的長即為DP+CP的最小值．

解答：解：（1）∵∠B=90°，BC=4，BE=3，
根據(jù)勾股定理可得：CE=

BC2+BE2

=

42+32

=5；
（2）∵∠CED=90°，
∴∠CEB+∠DEA=90°，
∵∠B=90°，
∴∠CEB+∠ECB=90°，
∴∠DEA=∠ECB，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
在△ADE和△BEC中，

DEA=∠ECB   ∠A=∠B   AD=BE

∴△ADE≌△BEC（AAS）；
（3）延長DA至F，使得AD=AF，并連接CF，此時CF與AB的交點為點P，連接PD；
∵AB⊥AD，且AD=AF，
∴△DFP是等腰三角形，
∴DP=FP，
∴DP+CP的最小值為CF，
過點F作FH垂直CB的長線，垂足為H，如圖所示：
根據(jù)題意得：CH=7，F(xiàn)H=7，
根據(jù)勾股定理可得，CF=

72+72

=7

2

，
即DP+CP的最小值為7

2

．

點評：本題考查了勾股定理、軸對稱以及最短路線問題；熟練掌握勾股定理和最短路線的作圖是解決問題的關(guān)鍵．