【題目】已知,點(diǎn)A為⊙0外一點(diǎn),過A作⊙O的切線與⊙O相切于點(diǎn)P,連接PO并延長至圓上一點(diǎn)B連接AB交⊙O于點(diǎn)C,連接OA交⊙O于點(diǎn)D連接DP且∠OAP=∠DPA。
(1)求證:PO=PD
(2)若AC=,求⊙O的半徑。
【答案】(1)見解析;(2)半徑.
【解析】
(1)設(shè)∠OAP=∠DPA=x,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和切線的性質(zhì),分別表示出∠ODP和∠OPD,根據(jù)∠OPD=∠ODP可求出x=30°,易得△ODP是等邊三角形,結(jié)論得證;
(2)設(shè)半徑為r,則AP=,然后用勾股定理求得,最后根據(jù)切割線定理列出方程求解即可.
解:(1)設(shè)∠OAP=∠DPA=x,則∠ODP=2x,
∵PA為切線,
∴∠OPA=90°,
∴∠OPD=90°-x,
∵∠OPD=∠ODP,
∴90°-x=2x,
解得:x=30°,
∴∠ODP=∠OPD=90°-x=60°,
∴△ODP是等邊三角形,
∴PO=PD;
(2)設(shè)半徑為r,
由(1)得∠OAP=30°,
∴AP=,
∴,
由切割線定理可得:AP2=AC·AB,即,
解得:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有五個小球,每個小球上面分別標(biāo)著 1,2,3,4,5 這五個數(shù)字中的一個,這些小球除標(biāo)的數(shù)字不同以外,其余的全部相同.把分別標(biāo)有數(shù)字 4、5 的兩個小球放入不透明的口袋 A 中,把分別標(biāo)有數(shù) 字 1、2、3 的三個小球放入不透明的口袋 B 中.現(xiàn)隨機(jī)從 A 和 B 兩個口袋中各取出一個小球,把 從 A 口袋中取出的小球上標(biāo)的數(shù)字記作 m,從B口袋中取出的小球上標(biāo)的數(shù)字記作 n,且 m-n=k,則 y 關(guān)于 x 的二次函數(shù) 與 x 軸有交點(diǎn)的概率是_________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明跳起投籃,球出手時離地面m,球出手后在空中沿拋物線路徑運(yùn)動,并在距出手點(diǎn)水平距離4m處達(dá)到最高度4m.已知籃筐中心距地面3m,與球出手時的水平距離為8m,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)此次投籃,球能否直接命中籃筐中心?若能,請說明理由;若不能,在出手的角度和力度都不變的情況下,球出手時距離地面多少米可使球直接命中籃筐中心?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)解析式;
(2)判斷點(diǎn)是否在此拋物線上;
(3)求出拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是射線y═(x≥0)上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,以AB為邊在其右側(cè)作正方形ABCD,過點(diǎn)A的雙曲線y=交CD邊于點(diǎn)E,則的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月22日是第50個世界地球日,某校在八年級5個班中,每班各選拔10名學(xué)生參加“環(huán)保知識競賽”并評出了一、二、三等獎各若干名,學(xué)校將獲獎情況繪成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求本次競賽獲獎的總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“二等獎”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)如果該校八年級有800人,請你估計(jì)獲獎的同學(xué)共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,速度為2cm/s;同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,速度為lcm/s;連接PQ,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒(0<t<5),解答下列問題:
(1)當(dāng)為t何值時,PQ∥BC;
(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值;
(3)如圖2,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQPC,是否存在某時刻t,使四邊形PQP'C為菱形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)M在△ABC內(nèi),AM平分∠BAC.點(diǎn)E與點(diǎn)M在AC所在直線的兩側(cè),AE⊥AB,AE=BC,點(diǎn)N在AC邊上,CN=AM,連接ME,BN.
(1)補(bǔ)全圖形;
(2)求ME:BN的值;
(3)問:點(diǎn)M在何處時BM+BN取得最小值?確定此時點(diǎn)M的位置,并求此時BM+BN的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)試求A,B,C的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.3
①求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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