【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形,點A,B在x軸上,△MBC是邊長為2的等邊三角形,過點M作直線l與x軸垂直,交⊙M于點E,垂足為點M,且點D平分 .
(1)求過A,B,E三點的拋物線的解析式;
(2)求證:四邊形AMCD是菱形;
(3)請問在拋物線上是否存在一點P,使得△ABP的面積等于定值5?若存在,請求出所有的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由題意可知,△MBC為等邊三角形,點A,B,C,E均在⊙M上,
則MA=MB=MC=ME=2,
又∵CO⊥MB,
∴MO=BO=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),
拋物線頂點E的坐標為(﹣1,﹣2),
設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2﹣2(a≠0)
把點B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,
解得:a= ,
故二次函數(shù)解析式為:y= (x+1)2﹣2;
(2)
證明:
連接DM,
∵△MBC為等邊三角形,
∴∠CMB=60°,
∴∠AMC=120°,
∵點D平分弧AC,
∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,
∵MD=MC=MA,
∴△MCD,△MDA是等邊三角形,
∴DC=CM=MA=AD,
∴四邊形AMCD為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形);
(3)
解:存在.
理由如下:
設(shè)點P的坐標為(m,n)
∵S△ABP= AB|n|,AB=4
∴ ×4×|n|=5,
即2|n|=5,
解得:n=± ,
當 時, (m+1)2﹣2= ,
解此方程得:m1=2,m2=﹣4
即點P的坐標為(2, ),(﹣4, ),
當n=﹣ 時, (m+1)2﹣2=﹣ ,
此方程無解,
故所求點P坐標為(2, ),(﹣4, ).
【解析】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識,正確得出E點坐標是解題關(guān)鍵.(1)根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標,再利用頂點式求出函數(shù)解析式;(2)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°,進而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;(3)首先表示出△ABP的面積進而求出n的值,再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一張三角形紙片ABC(如圖甲),其中AB=AC.將紙片沿過點B的直線折疊,使點C落到AB邊上的E點處,折痕為BD(如圖乙).再將紙片沿過點E的直線折疊,點A恰好與點D重合,折痕為EF(如圖丙).原三角形紙片ABC中,∠ABC的大小為______°.
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【題目】在中,.
(1)如圖①,點在斜邊上,以點為圓心,長為半徑的圓交于點,交于點,與邊相切于點.求證:;
(2)在圖②中作,使它滿足以下條件:
①圓心在邊上;②經(jīng)過點;③與邊相切.
(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動,設(shè)運動的時間為ts.
(1)求BC邊的長;
(2)當△ABP為直角三角形時,求t的值.
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【題目】如圖,直線y=﹣ x+2 與x軸,y軸分別交于點A,點B,兩動點D,E分別從點A,點B同時出發(fā)向點O運動(運動到點O停止),運動速度分別是1個單位長度/秒和 個單位長度/秒,設(shè)運動時間為t秒,以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E,過點E作x軸的平行線,與拋物線的另一個交點為點G,與AB相交于點F.
(1)求點A,點B的坐標;
(2)用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長;
(3)當四邊形ADEF為菱形時,試判斷△AFG與△AGB是否相似,并說明理由.
(4)是否存在t的值,使△AGF為直角三角形?若存在,求出這時拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,已知開口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過點A(m,1),與y軸交于點C,頂點為B,將拋物線y1繞點C旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線y2 , 點A,B的對應(yīng)點分別為點D,E.
(1)直接寫出點A,C,D的坐標;
(2)當四邊形ABCD是矩形時,求a的值及拋物線y2的解析式;
(3)在(2)的條件下,連接DC,線段DC上的動點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止,在點P運動的過程中,過點P作直線l⊥x軸,將矩形ABDE沿直線l折疊,設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位,點P的運動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.
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【題目】為了加強對校內(nèi)外安全監(jiān)控,創(chuàng)建平安校園,某學校計劃增加15臺監(jiān)控攝像設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備,其中每臺價格,有效監(jiān)控半徑如表所示,經(jīng)調(diào)查,購買1臺甲型設(shè)備比購買1臺乙型設(shè)備多150元,購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少400元.
甲型 | 乙型 | |
價格(元/臺) | a | b |
有效半徑(米/臺) | 150 | 100 |
(1)求a、b的值;
(2)若購買該批設(shè)備的資金不超過11000元,且要求監(jiān)控半徑覆蓋范圍不低于1600米,兩種型號的設(shè)備均要至少買一臺,請你為學校設(shè)計購買方案,并計算最低購買費用.
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【題目】計算:
(1)3+()+()+();
(2)25.7+(-7.3)+(-13.7)+7.3;
(3)(-2.125)+()+()+(-3.2);
(4)(-0.8)+6.4+(-9.2)+3.6+(-1).
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【題目】為鼓勵市民節(jié)約用電,小亮家所在地區(qū)規(guī)定:每戶居民如果一個月的用電量不超過度,那么這戶居民這個月只需交元電費;如果超過度,則這個月除了仍要交元的電費以外,超過的部分還要按每度元交電費.已知小亮家月份用電度,交電費元;月份用電度,交電費元.
(1)請直接寫出小亮家月份超過度部分的用電量(用含的代數(shù)式表示);
(2)求的值.
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