【題目】如圖1,△ABC內(nèi)接于圓O,連接AO,延長AOBC于點(diǎn)D,ADBC

1)求證:ABAC

2)如圖2,在圓O上取一點(diǎn)E,連接BE、CE,過點(diǎn)AAFBE于點(diǎn)F,求證:EF+CEBF

3)如圖3在(2)的條件下,在BE上取一點(diǎn)G,連接AG、CG,若AGB+ABC90°,∠AGC=∠BGC,AG6,BG5,求EF的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3EF=

【解析】

1)由垂徑定理可得BDCD,由垂直平分線的性質(zhì)可得ABAC

2)在BF上截取FHEF,連接AE,由“SAS”可證△ABH≌△ACE,可得BHCE,可得結(jié)論;

3)延長CG交圓OM,交ABK,過點(diǎn)AAPCMP,過點(diǎn)BBNCMN,連接AE,通過等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì),分別求出BF,CE的長,即可求EF的長.

證明:(1)∵ADBC,AD過圓心O,

BDCD,且ADBC

ABAC;

2)如圖2,在BF上截取FHEF,連接AE,AH,

AFEH,EFFH,

AHAE

∴∠AHE=∠AEH,

ABAC,

∴∠ABC=∠ACB,且∠ACB=∠AEH,

∴∠AEH=∠AHE=∠ABC=∠ACB

∴∠BAC=∠HAE,

∴∠BAH=∠CAE,且AHAE,ABAC,

∴△ABH≌△ACESAS

BHCE,

BFEF+CE;

3)如圖3,延長CG⊙OM,交ABK,過點(diǎn)AAPCMP,過點(diǎn)BBNCMN,連接AE,AM,MB,

AGB+ABC90°,

AGB90°﹣∠ABC,

∴∠AGB2BAC,

∵∠AGC=∠BGC

∴∠BGM=∠AGMAGB,

∴∠BGM=∠AGM=∠BAC,且∠BAC=∠BMC,

∴∠BMG=∠BGM,

BMBG5

∵∠AMC=∠ABC,∠AGM=∠BAC,

∴∠GAM=∠ACB

∴∠AMG=∠MAG,

MGAG6,

BMBG,BNMG,

MNNG3,

BN4,

∵∠BMG=∠AGM,

BMAG

,

APBN,

AP,

PG

PNPGNG,且

PKKN,

AK,

BK,

ABAK+BK

AF2AG2GF2,AF2AB2BF2,

AG2GF2AB2﹣(5+GF2,

GF,

BF

MPMGPG,

MK,

∵∠AMC=∠ABC,∠MAB=∠BCM

∴△MAK∽△BCK,

,

CK,

GCKCKG,

∵∠BMC=∠BEC,∠BGM=∠CGE,∠BGM=∠BMG,

∴∠CGE=∠CEG,

CGCE,

EF+CEBF,

EFBFCE

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),已知拋物線y=ax2+4ax+c(a≠0)經(jīng)過A(0,4),B(3,1),頂點(diǎn)為C

(1)求該拋物線的表達(dá)方式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)(1)中求得的拋物線沿y軸向上平移m(m0)個(gè)單位,所得新拋物線與y軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D.當(dāng)△ACD時(shí)等腰三角形時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P(1)中求得的拋物線的對稱軸上,聯(lián)結(jié)PO,將線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到線段PO′,若點(diǎn)O′恰好落在(1)中求得的拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】如圖,已知O的半徑為2,AB為直徑,CD為弦,AB與CD交于點(diǎn)M,將弧CD沿著CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長OA至P,使AP=OA,鏈接PC。

1求CD的長;

2求證:PC是O的切線;

3點(diǎn)G為弧ADB的中點(diǎn),在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)Q,連接QG交AB于點(diǎn)E,交弧BC于點(diǎn)FF與B、C不重合。問GEGF是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,請說明理由。

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【題目】如圖1,邊長為4的正方形ABCD中,點(diǎn)EAB邊上(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)FBC邊上(不與點(diǎn)BC重合)

第一次操作:將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)G;

第二次操作:將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)H;

依此操作下去

(1)2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的,其形狀為   ,求此時(shí)線段EF的長;

(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH

①請判斷四邊形EFGH的形狀為   ,此時(shí)AEBF的數(shù)量關(guān)系是   ;

②以①中的結(jié)論為前提,設(shè)AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求yx的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.

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【題目】如圖,BC為圓O直徑,BF與圓O相切于點(diǎn)B,CF交圓OAE為AC上一點(diǎn),使∠EBA=∠FBA,若EF6,tanF,則CE的長為_____

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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABOC的邊BO,CO分別在x軸,y軸上,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣8,6),點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部,點(diǎn)EBO邊上,滿足△PBE∽△CBO,當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為_____

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(1)求演員彈跳離地面的最大高度;

(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米,問這次表演是否成功?請說明理由.

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【題目】已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表所示:

3

2

1

0

1

0

3

4

3

0

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;

(3)當(dāng)時(shí),直接寫出的取值范圍.

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