精英家教網(wǎng)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為l,點(diǎn)M,N,P分別在邊BC,AB上,設(shè)BM=x,CN=y,AP=z,且x+y+z=1.
(1)試用x,y,z表示△MNP的面積
(2)求△MNP面積的最大值.
分析:(1)由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為l,BM=x,CN=y,AP=z,即可求得MC,NA,PB的值,又由S△MNP=S△ABC-S△PBM-S△MCN-S△NAP與x+y+z=1,即可求得△MNP的面積;
(2)由(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1與x2+y2+z2≥xy+yz+zx,即可求得xy+yz+zx的最大值,繼而求得△MNP面積的最大值.
解答:解:(1)∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為l,
∴AB=BC=AC=1,
∵BM=x,CN=y,AP=z,
∴MC=1-x,NA=1-y,PB=1-z,
∴S△MNP=S△ABC-S△PBM-S△MCN-S△NAP=
3
4
-
1
2
x(1-z)
3
2
-
1
2
(1-x)y
3
2
-
1
2
(1-y)z
3
2
=
3
4
-
3
4
[x+y+z-(xy+yz+zx)]=
3
4
(xy+yz+zx);

(2)∵x+y+z=1,
∴(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1,
∵x2+y2+z2≥xy+yz+zx,
∴xy+yz+zx≤
1
3
(當(dāng)x=y=z=
1
3
時(shí),等號(hào)成立),
∴S△MNP=
3
4
(xy+yz+zx)≤
3
12
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形的面積問(wèn)題,幾何不等式的應(yīng)用問(wèn)題,以及正三角形的性質(zhì).此題綜合性較強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意幾何不等式的應(yīng)用.
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精英家教網(wǎng)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為12,三個(gè)全等的小正三角形重心(即三條中線的交點(diǎn))與正三角形ABC的頂點(diǎn)重合,且他們各有一邊與正三角形ABC的一邊平行.若小正三角形的邊長(zhǎng)為x,且0<x≤12,陰影部分的面積為S,則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
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如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1cm,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至AP1,形成扇形D1;將線段BP1繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至BP2,形成扇形D2;將線段CP2繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至CP3,形成扇形D3;將線段AP3繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至AP4,形成扇形D4….設(shè)ln為扇形Dn的弧長(zhǎng)(n=1,2,3…),回答下列問(wèn)題:
(1)按照要求填表:
 1  4
ln         
(2)根據(jù)上表所反映的規(guī)律,試估計(jì)n至少為何值時(shí),扇形Dn的弧長(zhǎng)能繞地球赤道一周(設(shè)地球赤道半徑為6400km).
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•十堰)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)是2,分別以點(diǎn)B,C為圓心,以r為半徑作兩條弧,設(shè)兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S,當(dāng)
2
≤r<2時(shí),S的取值范圍是
π
2
-1≤S<
3
-
3
π
2
-1≤S<
3
-
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正三角形ABC內(nèi)接于圓O,動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧AB上,且不與A,B重合,則∠BPC=
60°
60°

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