Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E，BC平分∠ABE，連接AC、BC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求CE的長；
（3）線段CD=CE成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)等邊對(duì)等角，以及角平分線的定義，即可證得∠OCB=∠EBC，則OC∥BE，從而證得OC⊥CD，即CD是⊙O的切線；
（2）在直角△ABC中，利用三角函數(shù)求得BC的長，然后在直角△CBE中，利用三角函數(shù)即可求得CE的長；
（3）先根據(jù)AD⊥CD于D，BE⊥CD于E可知AD∥BE，再根據(jù)CD是⊙O的切線可知OC⊥DE，故AD∥OC∥BE，再根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)可知OC是梯形ABED的中位線，故可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
又∵∠EBC=∠ABC，
∴∠OCB=∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴直角△ABC中，BC=AB•sinA=4×

3

2

=2

3

，∠ABC=30°
∴在直角△CBE中，∠CBE=∠ABC=30°，CE=

1

2

BC=

3

．

（3）成立．
理由：∵AD⊥CD于D，BE⊥CD于E，
∴AD∥BE，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∴AD∥OC∥BE，
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OC是梯形ABED的中位線，
∴CD=CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出中位線是解答此題的關(guān)鍵．